miércoles, 25 de mayo de 2011
viernes, 8 de abril de 2011
Avatar 9 - Meditaciones autosimilares
¿Puede existir un relato fractal? ¿Puede haber literatura no lineal? ¿O cuál es la dimensión de una historia? ¿Acaso puede ser racional? ¿Acaso puede ser fraccionaria? Estas preguntas vinieron a mi mente mientras reflexionaba sobre el conjunto de Mandelbrot que se encierra a sí mismo a diferentes escalas. Como los sueños que pueden darse unos dentro de otros sin aparente límite.
Recuerdo el relato de Pedro Páramo de Juan Rulfo, relato que no es lineal. Es la historia de Pedro Páramo, pero también es la historia de su hijo Juan Preciado; es la historia de la Comala de hoy, pero, también, la del pasado. Es una yuxtaposición y un solapamiento de espacios y tiempos sin orden aparente pero de concreción evidente como un todo.
El Jardín de Senderos que se Bifurcan y El Aleph son dos cuentos magníficos de J. L. Borges que, también, ilustran vívidamente la fractalidad de la realidad. En el primero cada giro de una historia es un giro de la historia (si existiese una sola) del mundo. Cada giro es una bifurcación del jardín que es el universo que, más bien, es un multiverso. En el segundo la totalidad es parte de la parte y ésta, a su vez, es parte de la totalidad, a la manera de las categorías transinfinitas de Cantor: “… vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.”
Recuerdo el relato de Pedro Páramo de Juan Rulfo, relato que no es lineal. Es la historia de Pedro Páramo, pero también es la historia de su hijo Juan Preciado; es la historia de la Comala de hoy, pero, también, la del pasado. Es una yuxtaposición y un solapamiento de espacios y tiempos sin orden aparente pero de concreción evidente como un todo.
El Jardín de Senderos que se Bifurcan y El Aleph son dos cuentos magníficos de J. L. Borges que, también, ilustran vívidamente la fractalidad de la realidad. En el primero cada giro de una historia es un giro de la historia (si existiese una sola) del mundo. Cada giro es una bifurcación del jardín que es el universo que, más bien, es un multiverso. En el segundo la totalidad es parte de la parte y ésta, a su vez, es parte de la totalidad, a la manera de las categorías transinfinitas de Cantor: “… vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.”
Hace dos años atrás, estudiando algunas estructuras que Marcelo Ramírez, de la carrera de Física de La Paz, había encontrado y que tenían carácter fractal (un ejemplo aproximado de las cuales vemos en la figura), dimos, al mismo tiempo, con un artículo titulado Lyapunov exponents of the logistic map with periodic forcing escrito por Mario Markus, un físico que trabaja en el Instituto Max Planck de Alemania en el área de dinámica no lineal. Hace dos semanas atrás, un amigo filósofo de vuelta de Chile, con algunos textos recién adquiridos, me dice “pongo a consideración tuya estos poemas”. El autor, para sorpresa mía, era, también, Mario Markus. Extraigo de su libro Punzadas, el siguiente poema
Y, entonces, me pregunto si acaso existe la casualidad (o la causalidad velada que, a veces, es fractalidad).
La hilandera
De la soledad suelen surgir hebras negras
que en los callejones, al seguirlas,
con la noche se enredan.
Dicen que es mejor no jugar con ellas,
pues en una punta llevan veneno
y en la otra
el rabo ciego de la culebra.
Dicen también que hay una hilandera
tejedora de hebras blancas, de seda,
que no vive en el callejón
donde viven las rameras.
He salido a buscar a la hilandera
pero por más que busco y busco
sólo encuentro hebras negras.
De la soledad suelen surgir hebras negras
que en los callejones, al seguirlas,
con la noche se enredan.
Dicen que es mejor no jugar con ellas,
pues en una punta llevan veneno
y en la otra
el rabo ciego de la culebra.
Dicen también que hay una hilandera
tejedora de hebras blancas, de seda,
que no vive en el callejón
donde viven las rameras.
He salido a buscar a la hilandera
pero por más que busco y busco
sólo encuentro hebras negras.
Y, entonces, me pregunto si acaso existe la casualidad (o la causalidad velada que, a veces, es fractalidad).
miércoles, 16 de marzo de 2011
Avatar 8 - Sobre la física en los procesos vitales
Un amigo me ha preguntado qué dice la física sobre la muerte. Le he respondido que, primeramente, deberíamos entender qué dice la física sobre la vida o lo qué no dice sobre la muerte y buscar por reductio ad absurdum alguna conclusión valedera. Y pensando en todo esto recordé que en la naturaleza existe lo que parece imposible… un animal inmortal.
Su nombre científico es turritopsis nutricula. Es una medusa de mar de la clase hidrozoo que cuando alcanza la madurez sexual revierte su desarrollo para regresar a un estado de pólipo y comenzar su ciclo vital nuevamente. Esto lo hace mediante el proceso denominado transdiferenciación. Entendemos dicho proceso porque los biólogos que han estudiado células madre los últimos 30 años han investigado un proceso similar más básico denominado diferenciación. Este es el proceso por el cual una célula embriónica no especializada adquiere las características de una célula especializada como las de un corazón, hígado o músculo. La diferenciación está controlada por la interacción de los genes de una célula con las condiciones físicas y químicas fuera de la célula, usualmente a través de indicadores compuestos por proteínas inmersas en su superficie. En la transdiferenciación, estas células, propias de un tipo de tejido, se diferencian hacia células de otro tipo de tejido. Esta capacidad hace de la turritopsis nutricula un animal biológicamente inmortal.
Pero podemos preguntarnos ¿sabe la turritopsis nutricula que esta viva? Porque ¿qué es la muerte sino la disolución de la conciencia? Y, entonces, ¿qué es la conciencia? Roger Penrose, en su libro The Emperor’s New Mind, ha dicho que los procesos racionales concientes no pueden ser considerados algorítmicos ni, por lo tanto, corresponden al funcionamiento de una máquina de Turing, sino, más bien, estos procesos deben ser explicados considerando efectos cuánticos (en particular mediante el colapso de la función de onda). Ahora bien, si hemos de considerar efectos cuánticos esto quiere decir que todo hecho conciente sería sujeto de una de las posibles interpretaciones que se adscriben a la mecánica cuántica. El más probable, de todos los posibles, es el que considera que la realidad es una suma de historias o promedio de todas las posibilidades asociadas a un evento antes de su realización o medición (al colapsar su función de onda).
Sin embargo, en 1957, Hugh Everett propuso una interpretación diferente a la mecánica cuántica, denominada interpretación de los muchos mundos, que afirma la realidad objetiva de una función de onda universal, pero niega la realidad del colapso de la función, lo que implica que todas las posibles historias alternativas y futuros son reales – cada una representando un mundo o un universo real. Keith Lynch, un empleado en DBS (una compañía comercial que Everett cofundó), recuerda que Everett creía firmemente que su teoría de muchos mundos le garantizaba la inmortalidad: su conciencia, argüía, está sujeta, en cada bifurcación [de la realidad], a seguir el sendero que no conduzca a la muerte – y así ad infinitum.
Pero mientras no podamos evitar la muerte a la manera de la turritopsis nutricula o a la manera de los muchos mundos, me quedo con las palabras de Richard Dawkins (autor de The Selfish Gene): “Vamos a morir y ello nos hace los afortunados. La mayoría de las personas nunca van a morir porque nunca van a nacer. Las potenciales personas que podrían haber estado aquí en mi lugar pero que, de hecho, nunca verán la luz del día superan los granos de arena de Arabia. Estos fantasmas no natos ciertamente incluyen mayores poetas que Keats, mayores científicos que Newton. Sabemos esto porque el conjunto de posibles personas permitidas por nuestro ADN excede masivamente el conjunto de personas actuales. Es a pesar de estas sorprendentes probabilidades que tú y yo, simples como somos, estamos aquí.”
Avatar 8 - De monstruos y bifurcaciones
El género de la literatura de ficción está plagada de inmortales, la mayoría de ellos, monstruos. Pero a parte del ubicuo vampiro, también, está el famoso monstruo creado por Mary Shelley en su novela Frankenstein or the Modern Prometheus, obra en la que su protagonista Victor Frankenstein vence a la muerte al animar de vida, mediante procesos galvánicos, un cuerpo compuesto por varios deshechos humanos. Como el conocimiento que tenemos de esta novela se debe mayormente a las versiones cinematográficas (poco fieles a la novela original, mayormente) me tomo la libertad de copiar algunos pasajes del capítulo 3 alusivos a la animación del monstruo en particular:
“[…] Para examinar los orígenes de la vida debemos primero conocer la muerte. Me familiaricé con la anatomía, pero esto no era suficiente. Tuve también que observar la descomposición natural y la corrupción del cuerpo humano. […] Me detuve a examinar y analizar todas las minucias que componen el origen, demostradas en la transformación de lo vivo en lo muerto y de lo muerto en lo vivo. […] Cuando me encontré con este asombroso poder entre mis manos, dudé mucho tiempo en cuanto a la manera de utilizarlo. A pesar de que poseía la capacidad de infundir vida, el preparar un organismo para recibirla, con las complejidades de nervios, músculos y venas que ello entraña, seguía siendo una labor terriblemente ardua y difícil. En un principio no sabía bien si intentar crear un ser semejante a mí o uno de funcionamiento más simple; pero estaba demasiado embriagado con mi primer éxito como para que la imaginación me permitiera dudar de mi capacidad para infundir vida a un animal tan maravilloso y complejo como el hombre.”
Nuevamente en esta novela vemos renacidos los mitos del homúnculo alquímico y del golem judío. Es la búsqueda de la regeneración continua y de la reanimación de los sentidos. Es la negación de la muerte. Pero ¿qué es la vida?
Si la vida fuese conciencia y la conciencia tuviera alternativas múltiples, como Hugh Everett lo propuso, de cierto modo, en 1957, entonces J. L. Borges lo ha ilustrado magníficamente en su cuento El Jardín de Senderos que se Bifurcan del que, también, extraigo estos pasajes:
Nuevamente en esta novela vemos renacidos los mitos del homúnculo alquímico y del golem judío. Es la búsqueda de la regeneración continua y de la reanimación de los sentidos. Es la negación de la muerte. Pero ¿qué es la vida?
Si la vida fuese conciencia y la conciencia tuviera alternativas múltiples, como Hugh Everett lo propuso, de cierto modo, en 1957, entonces J. L. Borges lo ha ilustrado magníficamente en su cuento El Jardín de Senderos que se Bifurcan del que, también, extraigo estos pasajes:
“[...] En todas las ficciones, cada vez que un hombre se enfrenta con diversas alternativas, opta por una y elimina las otras; en la del casi inextricable Ts'ui Pên, opta —simultáneamente— por todas. Crea, así, diversos porvenires, diversos tiempos, que también, proliferan y se bifurcan. [...] El jardín de los senderos que se bifurcan es una imagen incompleta, pero no falsa, del universo tal como lo concebía Ts'ui Pên. A diferencia de Newton y de Schopenhauer, su antepasado no creía en un tiempo uniforme, absoluto. Creía en infinitas series de tiempos, en una red creciente y vertiginosa de tiempos divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades. No existimos en la mayoría de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; en otros, yo, no usted; en otros, los dos. En éste, que un favorable azar me depara, usted ha llegado a mi casa; en otro, usted, al atravesar el jardín, me ha encontrado muerto; en otro, yo digo estas mismas palabras, pero soy un error, un fantasma. […]”
Lo interesante es que Borges escribió este cuento en 1941, dieciséis años antes que Everett propusiera su teoría.
Avatar 8 - Transdiferenciación
Las células madre (CM) han logrado en los últimos veinte años crear esperanza en el progreso de las ciencias médicas de una manera jamás siquiera soñada hasta ahora. La capacidad de estas células de autorenovación por periodos largos les permiten vivir el tiempo necesario sin diferenciarse (i.e. sin adquirir características específicas de una célula especializada en particular) para poder dar origen a otras células. Principalmente las CM pueden dar origen a células maduras diferenciadas y funcionales, pertenecientes, en principio, a cualquier tipo de tejido u órgano. Estas características han llevado a pensar a los investigadores en diversas aplicaciones, siendo posible su uso en la comprensión de estadios tempranos del desarrollo embrionario o del desarrollo y funcionamiento de los tejidos. Igualmente el potencial uso de las CM en pruebas de nuevas drogas, sin arriesgar la vida de seres humanos y, también, la promesa de la medicina regenerativa: la de poder crear o reparar tejidos u órganos completos, haciéndonos prácticamente inmortales.
Los primeros experimentos estuvieron restringidos solamente a CM de ratones. No fue sino hasta diez años después que se empezaron a utilizar CM humanas, obtenidas de embriones fertilizados in-vitro. Estas células así obtenidas son denominadas células madre embrionarias (CME). Las mismas presentan la propiedad de autorenovación y además de pluripotencialidad, i.e. que son capaces de generar cualquier tipo de célula. Aunque los orígenes del estudio de células madre, en realidad, comenzó con el descubrimiento de ciertas propiedades regenerativas en algunos órganos de los seres vivos, posteriormente se confirmó que las células madre no sólo podían ser obtenidas a partir de embriones sino que también existían CM en medio de células diferenciadas, es decir, en tejidos ya desarrollados. Estas células se denominan células madres adultas o somáticas (CMA), las cuales han sido encontradas en diversas zonas como ser en la médula espinal, en el cerebro, músculos, piel, etc., siendo la principal función de estas CMA la mantención y reparación de los tejidos donde se encuentran inmersos.
El origen de las CMA aún sigue siendo un misterio, puesto que las CME se diferencian rápidamente y en las primeras etapas embrionarias dando origen a células diferenciadas que generan todo el organismo. Las CMA, a pesar que también pueden autorenovarse por periodos largos, aunque con mayor dificultad que las CME, sólo pueden generar células diferenciadas pertenecientes al tejido donde se encontraban, es decir, no son pluripotenciales.
Recientemente investigaciones en CMAs han mostrado un fenómeno inesperado, denominado transdiferenciación o plasticidad, el cual consiste en la posibilidad de que CMA obtenidas en un tejido son capaces de generar células características de tejidos totalmente distintos. Por ejemplo, se tienen evidencias de que CMAs encontradas en la sangre (la cual se origina en la etapa embrionaria a partir de la capa germinativa primaria llamada mesodermo) pueden originar células musculares (de origen también mesodérmico) al igual que en células nerviosas (de origen ectodérmico).
El fenómeno de transdiferenciación, para ser aceptado, debe cumplir los siguientes requisitos: primero se debe confirmar la existencia de CMAs en un cierto tejido, labor por cierto muy complicada ya que el número de las mismas es en general muy reducido, además de encontrarse dispersas en el tejido. Segundo, una vez comprobada la existencia de CMAs se debe probar que estas células son capaces de generar células que normalmente aparecen en un tejido diferente del cual se obtuvieron las CMAs. Este paso usualmente se logra colocando marcadores en las CMAs que permitan rastrearlas en el nuevo tejido. El estudio puede ser hecho in-vivo o in-vitro. Finalmente, se debe demostrar que las células originadas por las CMAs son capaces de integrarse al tejido, sobrevivir y ser funcionales como cualquier otra célula madura del tejido en cuestión. Los datos actuales han logrado probar que las nuevas células originadas por CMAs provenientes de un tejido diferente, logran integrarse pero sólo muestran algunas características de una célula madura plenamente funcional.
El fenómeno de la transdiferenciación aún sigue en debate, ya que los experimentos sólo han demostrado resultados parciales, nada contundentes. Los opositores a esta teoría argumentan que los resultados podrían ser explicados de dos maneras distintas: las CMA de un tejido donante podrían fusionarse con células del tejido huésped o que las células madre del donante emitirían factores que estimulan el trabajo de las CMA presentes en el tejido huésped.
En fin, el estudio de las células madre es muy apasionante, prueba de ello es la constante aparición de preguntas que esperan ansiosas una respuesta.
Los primeros experimentos estuvieron restringidos solamente a CM de ratones. No fue sino hasta diez años después que se empezaron a utilizar CM humanas, obtenidas de embriones fertilizados in-vitro. Estas células así obtenidas son denominadas células madre embrionarias (CME). Las mismas presentan la propiedad de autorenovación y además de pluripotencialidad, i.e. que son capaces de generar cualquier tipo de célula. Aunque los orígenes del estudio de células madre, en realidad, comenzó con el descubrimiento de ciertas propiedades regenerativas en algunos órganos de los seres vivos, posteriormente se confirmó que las células madre no sólo podían ser obtenidas a partir de embriones sino que también existían CM en medio de células diferenciadas, es decir, en tejidos ya desarrollados. Estas células se denominan células madres adultas o somáticas (CMA), las cuales han sido encontradas en diversas zonas como ser en la médula espinal, en el cerebro, músculos, piel, etc., siendo la principal función de estas CMA la mantención y reparación de los tejidos donde se encuentran inmersos.
El origen de las CMA aún sigue siendo un misterio, puesto que las CME se diferencian rápidamente y en las primeras etapas embrionarias dando origen a células diferenciadas que generan todo el organismo. Las CMA, a pesar que también pueden autorenovarse por periodos largos, aunque con mayor dificultad que las CME, sólo pueden generar células diferenciadas pertenecientes al tejido donde se encontraban, es decir, no son pluripotenciales.
Recientemente investigaciones en CMAs han mostrado un fenómeno inesperado, denominado transdiferenciación o plasticidad, el cual consiste en la posibilidad de que CMA obtenidas en un tejido son capaces de generar células características de tejidos totalmente distintos. Por ejemplo, se tienen evidencias de que CMAs encontradas en la sangre (la cual se origina en la etapa embrionaria a partir de la capa germinativa primaria llamada mesodermo) pueden originar células musculares (de origen también mesodérmico) al igual que en células nerviosas (de origen ectodérmico).
El fenómeno de transdiferenciación, para ser aceptado, debe cumplir los siguientes requisitos: primero se debe confirmar la existencia de CMAs en un cierto tejido, labor por cierto muy complicada ya que el número de las mismas es en general muy reducido, además de encontrarse dispersas en el tejido. Segundo, una vez comprobada la existencia de CMAs se debe probar que estas células son capaces de generar células que normalmente aparecen en un tejido diferente del cual se obtuvieron las CMAs. Este paso usualmente se logra colocando marcadores en las CMAs que permitan rastrearlas en el nuevo tejido. El estudio puede ser hecho in-vivo o in-vitro. Finalmente, se debe demostrar que las células originadas por las CMAs son capaces de integrarse al tejido, sobrevivir y ser funcionales como cualquier otra célula madura del tejido en cuestión. Los datos actuales han logrado probar que las nuevas células originadas por CMAs provenientes de un tejido diferente, logran integrarse pero sólo muestran algunas características de una célula madura plenamente funcional.
El fenómeno de la transdiferenciación aún sigue en debate, ya que los experimentos sólo han demostrado resultados parciales, nada contundentes. Los opositores a esta teoría argumentan que los resultados podrían ser explicados de dos maneras distintas: las CMA de un tejido donante podrían fusionarse con células del tejido huésped o que las células madre del donante emitirían factores que estimulan el trabajo de las CMA presentes en el tejido huésped.
En fin, el estudio de las células madre es muy apasionante, prueba de ello es la constante aparición de preguntas que esperan ansiosas una respuesta.
Avatar 8 - Inmortal
En aquellos años cuando aún creía que la muerte era inevitable, cuando vivía el presente de manera eterna, mis ojos contemplaron la historia que les relataré:
Por aquellos tiempos mis rumbos derivaron en las montañas heladas de Kavkazskiy Khrebet. En estas cimas donde el mundo entero reposa, gran cantidad de abedules y pinos sincronizados en sutil danza bajo el níveo terreno reconfortaban mi espíritu soñador. De pronto, la paz del lugar fue destruida por gritos de dolor. Aunque el origen era lejano y los ecos sobre las rocas y los árboles me desorientaron por algún tiempo, finalmente encontré el origen de tan desgarradores lamentos. Un hombre, casi desnudo, una vez seguramente buen mozo, sobre la roca helada, encadenado de manos y pies, pálido de dolor, sufría inmensa agonía. Un cuervo mientras tanto hacía festín con su cuerpo, lentamente y sin dar importancia a los gritos y retorcijos el mismo comía su hígado, aunque no por completo. Quedé estupefacto ante aquel episodio, inmóvil más por la incredulidad que por el frio que comenzaba a medida que el Sol desaparecía detrás de la cordillera.
Por aquellos tiempos mis rumbos derivaron en las montañas heladas de Kavkazskiy Khrebet. En estas cimas donde el mundo entero reposa, gran cantidad de abedules y pinos sincronizados en sutil danza bajo el níveo terreno reconfortaban mi espíritu soñador. De pronto, la paz del lugar fue destruida por gritos de dolor. Aunque el origen era lejano y los ecos sobre las rocas y los árboles me desorientaron por algún tiempo, finalmente encontré el origen de tan desgarradores lamentos. Un hombre, casi desnudo, una vez seguramente buen mozo, sobre la roca helada, encadenado de manos y pies, pálido de dolor, sufría inmensa agonía. Un cuervo mientras tanto hacía festín con su cuerpo, lentamente y sin dar importancia a los gritos y retorcijos el mismo comía su hígado, aunque no por completo. Quedé estupefacto ante aquel episodio, inmóvil más por la incredulidad que por el frio que comenzaba a medida que el Sol desaparecía detrás de la cordillera.
Cuando volví en mí, al fin mis miembros obedecieron y me acerqué hasta aquel pobre que aún gemía por el dolor que la herida le procuraba. Sin ninguna herramienta más que mis manos y cuanta roca podía levantar, intenté liberar al maltrecho encadenado. Vanos fueron mis intentos, agotado al fin, quedé dormido en medio del frio anochecer de la montaña.
Una mano tibia rozó mi frente. Era él, aún con sus cadenas sus dedos rozaban dulcemente mi frente, mientras sus palabras gemían: “Hijo, hijo descansa, no te acongojes, detén tu pesar, tu destino y mi salvación empiezan ahora”.
Recuperado, al fin me di cuenta que mis intentos para liberarlo serían inútiles. Entonces pensé que tal vez conversar y escuchar sería mi mejor ayuda. Mi sorpresa fue grande cuando caí en cuenta de la salud del encadenado. Estaba cansado y desgatado por su tortura; pero estaba vivo y la sangre ya no fluía por la herida, de hecho, sólo el rastro de la sangre seca quedaba. ¿Quién eres? ¿Qué eres?, le interrogué sorprendido.
Mi nombre es Prometeo afirmó, fui encadenado a este castigo por Zeus, señor de los dioses del Olimpo. Este es el precio que pago por mi amor a los humanos, porque les concedí la vida y les enseñé a utilizar los recursos de la naturaleza, les dí el fuego que Zeus les privó. Soy un titán, inmortal, igual que tú lo serás pronto. No me arrepiento de todo este martirio, pues el hombre logrará sobreponerse a la naturaleza y a los mismos dioses y, por mi parte, pronto vendrán a salvarme y tú eres parte de esa misión.
Continué toda la noche, en una plática de fantástica realidad, que para contárselas necesitaría tomos enteros y quizá mi memoria ya no sea fiel a las palabras pronunciadas.
Prometeo, entre muchas de sus virtudes, afirmaba poder ver el futuro, por eso, no le sorprendió mi aparición en aquel lugar perdido del mundo, ni el papel que desempeñaría en su liberación ni en la conquista del conocimiento del hombre. Una de mis mayores intrigas sin duda fue aquello que había dicho, “serás inmortal”. ¿Acaso era posible? ¿Un simple ser humano podría engañar a la inexorable muerte?
“Se paciente y perseverante, la respuesta está dentro de ti, busca y no pares de buscar, usa la razón y encontrarás tu respuesta. Ahora vete que debes cumplir con tu parte de esa historia”.
Aunque lleno de dudas y con muchas preguntas acepté marchar, pronto encontré ayuda. El llamado Hércules, hombre fuerte y muy gentil respondió a mi llamado de auxilio y emprendió veloz carrera en la búsqueda. Aunque intenté seguir el ritmo, me fue imposible. Cuando al fin llegué al lugar, Prometeo había sido liberado, sólo las cadenas rotas quedaron entre las rocas y en mi mente y mi corazón sembradas las dudas y las esperanzas. “Algún día seré inmortal”.
Recuperado, al fin me di cuenta que mis intentos para liberarlo serían inútiles. Entonces pensé que tal vez conversar y escuchar sería mi mejor ayuda. Mi sorpresa fue grande cuando caí en cuenta de la salud del encadenado. Estaba cansado y desgatado por su tortura; pero estaba vivo y la sangre ya no fluía por la herida, de hecho, sólo el rastro de la sangre seca quedaba. ¿Quién eres? ¿Qué eres?, le interrogué sorprendido.
Mi nombre es Prometeo afirmó, fui encadenado a este castigo por Zeus, señor de los dioses del Olimpo. Este es el precio que pago por mi amor a los humanos, porque les concedí la vida y les enseñé a utilizar los recursos de la naturaleza, les dí el fuego que Zeus les privó. Soy un titán, inmortal, igual que tú lo serás pronto. No me arrepiento de todo este martirio, pues el hombre logrará sobreponerse a la naturaleza y a los mismos dioses y, por mi parte, pronto vendrán a salvarme y tú eres parte de esa misión.
Continué toda la noche, en una plática de fantástica realidad, que para contárselas necesitaría tomos enteros y quizá mi memoria ya no sea fiel a las palabras pronunciadas.
Prometeo, entre muchas de sus virtudes, afirmaba poder ver el futuro, por eso, no le sorprendió mi aparición en aquel lugar perdido del mundo, ni el papel que desempeñaría en su liberación ni en la conquista del conocimiento del hombre. Una de mis mayores intrigas sin duda fue aquello que había dicho, “serás inmortal”. ¿Acaso era posible? ¿Un simple ser humano podría engañar a la inexorable muerte?
“Se paciente y perseverante, la respuesta está dentro de ti, busca y no pares de buscar, usa la razón y encontrarás tu respuesta. Ahora vete que debes cumplir con tu parte de esa historia”.
Aunque lleno de dudas y con muchas preguntas acepté marchar, pronto encontré ayuda. El llamado Hércules, hombre fuerte y muy gentil respondió a mi llamado de auxilio y emprendió veloz carrera en la búsqueda. Aunque intenté seguir el ritmo, me fue imposible. Cuando al fin llegué al lugar, Prometeo había sido liberado, sólo las cadenas rotas quedaron entre las rocas y en mi mente y mi corazón sembradas las dudas y las esperanzas. “Algún día seré inmortal”.
miércoles, 2 de marzo de 2011
Avatar 7 - El arte de Escher y la geometría hiperbólica
Una interesante aplicación de la geometría hiperbólica en el arte, puede ser vista y explicada en algunas obras del famoso Maurits Cornellis Escher. En particular, encontré un interesante trabajo realizado por Madhu Gupta publicado en la IEEE. En este trabajo se analiza un grabado en madera denominado Círculo límite IV, o también conocido como el Cielo e Infierno.
En el grabado se observan ángeles y demonios que forman un teselado que cubre toda la superficie. Las figuras se van reduciendo de tamaño del centro hacia afuera radialmente, de tal modo que su tamaño disminuye, hasta perderse en los límites del grabado.
Para realizar este tipo de teselado es necesaria una transformación matemática que logre realizar desplazamientos de la figura base, manteniendo algunas características invariantes, que permitan reconocer cierta similitud entre las figuras transformadas y la figura original. Además, la transformación debe hacer posible que una red infinita quepa en un lienzo finito y, por lo tanto, se debe esperar que los desplazamientos y tamaños de la figura base no sean constantes y, por el contrario, que el tamaño de la figura base tienda a cero en los límites.
Un tipo de transformaciones en el espacio de números complejos que cumplen estos requisitos son las llamadas transformaciones de Möbius:
Para realizar este tipo de teselado es necesaria una transformación matemática que logre realizar desplazamientos de la figura base, manteniendo algunas características invariantes, que permitan reconocer cierta similitud entre las figuras transformadas y la figura original. Además, la transformación debe hacer posible que una red infinita quepa en un lienzo finito y, por lo tanto, se debe esperar que los desplazamientos y tamaños de la figura base no sean constantes y, por el contrario, que el tamaño de la figura base tienda a cero en los límites.
Un tipo de transformaciones en el espacio de números complejos que cumplen estos requisitos son las llamadas transformaciones de Möbius:
$T(Z)=W=\frac{aZ+b}{cZ+d}$
donde a, b, c, d son constantes complejas tal que
$ad-bc \neq 0$ y $T(\infty)\equiv \frac{a}{c}$ y $T(-\frac{d}{c})\equiv \infty$
Entre las propiedades interesantes de esta transformación se pueden destacar tres. La primera es que la transformación mantiene la forma de círculos y rectas; también conserva el ángulo en signo y valor después de realizada la transformación. Estas características satisfacen el requerimiento de que la transformación mantenga reconocible la figura base después de cada transformación. La otra característica importante consiste en que con la selección adecuada de una métrica, la transformación de Möbius mantiene invariable la distancia entre dos puntos $Z_1$ y $Z_2$ y la correspondiente distancia de sus imágenes $T(Z_1)$ y $T(Z_2)$. Esta propiedad sin duda se verá reflejada en el escalamiento de las distancias y los tamaños. La métrica que satisfaga esta condición deberá ser invariable a transformaciones de Möbius, siendo una alternativa la razón cruzada o cualquier función monotónica dependiente de esta razón:
$\frac{(T_1-T_3)(T_2-T_2)}{(T_1-T_4)(T_2-T_3)}=\frac{(Z_1-Z_3)(Z_2-Z_4)}{(Z_1-Z_4)(Z_2-Z_3)}$
donde $T_1, T_2, T_3$ y $T_4$ son las transformaciones de $Z_1, Z_2, Z_3$ y $Z_4$ respectivamente.
Al introducir una métrica, básicamente se está hablando del uso de una nueva geometría que cumpla con las restricciones establecidas. Es posible demostrar que utilizando uno de los modelos de la geometría no euclidiana hiperbólica, particularmente el modelo del disco abierto de Poincaré, la distancia hiperbólica entre dos puntos está dada por:
$d(F_1, F_2)=ln \frac{d_E(F_1, Q) d_E(F_2, P)}{d_E(F_2, Q) d_E(F_1, P)}$
donde $d_E$ es la distancia euclidiana y además Q y P son los puntos donde la recta hiperbólica intersecta el círculo unitario de Poincaré.
En resumen, podemos decir que el grabado de Escher puede ser explicado matemáticamente como una invarianza a las transformaciones de Möbius en el dominio de los números complejos, al ser medidos con una métrica de distancia hiperbólica, inducida por la razón cruzada invariante con el modelo de disco abierto del espacio hiperbólico de Poincaré. Las figuras de la obra de Escher, a pesar de diferir en su tamaño, de hecho son congruentes bajo la métrica hiperbólica, siendo así, desde este punto de vista tan sólo un mosaico periódico con piezas de tamaño constante y periodicidad uniforme en el espacio hiperbólico.
Avatar 7 - Lobachevsky inspirador
Uno de los matemáticos que vio en el quinto postulado de Euclides, el de las rectas paralelas, una oportunidad para crear nuevas geometrías, llamadas posteriormente no-euclidianas fue el matemático ruso Nikolai Lobachevsky. Su trabajo, en particular en la llamada geometría hiperbólica, ha sido de suma importancia en el desarrollo de las matemáticas, principalmente en la geometría, y sus aportes no sólo han tenido acogida dentro de las matemáticas puras sino también han sido aplicadas a diferentes campos encontrándose logros muy interesantes en el campo de la relatividad de Einstein.
Navegando por el mundo de la literatura me encontré con que Lobachevsky no sólo es admirado por matemáticos sino también por algunos artistas, que decidieron honrar en su arte a este gran matemático. Uno de ellos fue Roger Zelazny, escritor de ciencia ficción y de novelas nacido en Estados Unidos. Escribió este poema a manera de parodia u homenaje, dentro de su novela “Doorsways in the Sand”. Aquí les dejo una aproximación al original:
Navegando por el mundo de la literatura me encontré con que Lobachevsky no sólo es admirado por matemáticos sino también por algunos artistas, que decidieron honrar en su arte a este gran matemático. Uno de ellos fue Roger Zelazny, escritor de ciencia ficción y de novelas nacido en Estados Unidos. Escribió este poema a manera de parodia u homenaje, dentro de su novela “Doorsways in the Sand”. Aquí les dejo una aproximación al original:
“Solo Lobachevsky ha mirado a la Belleza desnuda.
Ella se curva aquí adentro, aquí dentro y allá afuera.
Sus hendiduras paralelas se unen para burlarse
en una sabiduría de bellas nalgas;
con menos de ciento ochenta grados
su triángulo glorioso reposa.
Con su simetría de trompeta doble, Riemann no pudo conquistarla.
¡Sus gustos por las curvaturas más sencillas, el gordo teutón mostró!
Una elipse está bien para donde se quiere llegar,
pero modestia aparte!
Si a la Belleza sin ropas veré
dadme hipérbolas un día cualquiera.
El mundo es curvo, oí decir,
y sobre él nada reposa.
Sea éste mi deseo antes de morir:
Mirar a través de los ojos de Lobachevsky.”
Ella se curva aquí adentro, aquí dentro y allá afuera.
Sus hendiduras paralelas se unen para burlarse
en una sabiduría de bellas nalgas;
con menos de ciento ochenta grados
su triángulo glorioso reposa.
Con su simetría de trompeta doble, Riemann no pudo conquistarla.
¡Sus gustos por las curvaturas más sencillas, el gordo teutón mostró!
Una elipse está bien para donde se quiere llegar,
pero modestia aparte!
Si a la Belleza sin ropas veré
dadme hipérbolas un día cualquiera.
El mundo es curvo, oí decir,
y sobre él nada reposa.
Sea éste mi deseo antes de morir:
Mirar a través de los ojos de Lobachevsky.”
Otra artista que decidió recurrir al nombre de Lobachevsky fue Tom Lehrer, un comediante, cantante y matemático americano que realizó una canción con el nombre de Lobachevsky. En ella se cuenta la historia de un matemático, quién supuestamente recibió un consejo del gran profesor Nikolai Ivanovich Lobachevsky:
“Plagia! Plagia!
No dejes que el trabajo de otro evada tu mirada.
Recuerda el por qué el Señor Dios te regaló ojos,
por lo tanto, no tapes tus ojos,
sino plagia, plagia, plagia!
Sólo ten cuidado de siempre llamarlo ‘investigación’.”
No dejes que el trabajo de otro evada tu mirada.
Recuerda el por qué el Señor Dios te regaló ojos,
por lo tanto, no tapes tus ojos,
sino plagia, plagia, plagia!
Sólo ten cuidado de siempre llamarlo ‘investigación’.”
Lehrer afirmó posteriormente que no escogió a Lobachevsky por ser precisamente un ejemplo del plagio, sino fue simplemente por razones prosódicas. Lehrer menciona que Danny Kaye plagiaba una rutina del director ruso Stanislavsky, ambos músicos famosos. Lehrer decidió introducir la idea del plagio a las matemáticas y sin más ni más decidió que Lobachevsky fuese su víctima. Se debe reconocer lo jocoso de la canción y al escucharla en su idioma original, las rimas hacen evidente la elección del nombre ruso de Lobachevsky. Una letra graciosa, sencilla y divertida, que sin duda consigue su objetivo: repartir humor a través de la música, donde las matemáticas hacen su pequeño rol.
Avatar 7 - Conexiones hiperbólicas
Mientrás el geómetra jesuita del siglo XVIII, Gerolamo Saccheri, intentaba demostrar que el postulado de las paralelas de Euclides puede ser deducido a partir de los axiomas y cuatro postulados que lo preceden, desconocía, en realidad, que estaba descubriendo un nuevo tipo de geometría que hoy denominamos hiperbólica. La primera noción clara de esta geometría pertenece a Heinrich Lambert quién determinó la relación entre los ángulos y el área de un triángulo hiperbólico. Sin embargo, el crédito histórico de estos descubrimientos matemáticos se atribuye más a Gauss, Bolyai y Lobachevsky.
Entre las representaciones euclideanas que hacen posible el estudio de la geometría hiperbólica, está la representación conformal, que permite la conservación de los ángulos euclidianos entre cualesquiera rectas. Más propiamente, una representación conformal consiste de un disco euclidiano en cuyo interior se representa un plano hiperbólico infinito. En esta representación la distancia entre cualesquiera dos puntos A y B se da mediante
Entre las representaciones euclideanas que hacen posible el estudio de la geometría hiperbólica, está la representación conformal, que permite la conservación de los ángulos euclidianos entre cualesquiera rectas. Más propiamente, una representación conformal consiste de un disco euclidiano en cuyo interior se representa un plano hiperbólico infinito. En esta representación la distancia entre cualesquiera dos puntos A y B se da mediante
$log\frac{QA \cdot PB}{QB \cdot PA}$
donde QA, PB, QB y PA son distancias euclidianas y P y Q los puntos donde el círculo euclidiano que pasa por A y B encuentra ortogonalmente el borde del disco.
Durante la última década del siglo XX, la teoría de cuerdas conoció uno de sus resultados más fructíferos, a decir, la teoría que se conoce como AdS/CFT (Anti de Sitter/Conformal Field Theory). En esta teoría las interacciones de las partículas y fuerzas usuales de la física se representan al interior de un espacio de curvatura negativa denominado Anti de Sitter, pero todas ellas parecen ser reflejo de interacciones correspondientes en el borde del disco euclidiano, del que ya hablamos, que junto al tiempo forman un cilindro como el que se muestra en la figura.
Esas interacciones sobre la superficie de tal cilindro son similares a las que se dan entre quarks y gluones en la cromodinámica cuántica habitual. Lo interesante y novedoso de esta representación dual (AdS/CFT) es que revela a la fuerza de gravedad como una ilusión o reflejo de las interacciones que se producen en la superficie del cilindro y explica que el universo Anti de Sitter cuadridimensional, que representa a nuestro universo, tiene una dimensión adicional al universo que se desarrolla en el cilindro. Es decir, se pueden modelar varias teorías en la superficie del cilindro que se corresponden a las teorías de nuestro universo habitual.
Entre estas teorías están las teorías cuánticas de gravitación que buscan aunar los efectos cuánticos y relativistas a todas las escalas del espacio-tiempo y que entre sus proponentes tienen a la teoría de cuerdas, ya citada, y a la teoría de bucles (loop quantum gravity) entre otros. Trabajando hace unos meses en esta última teoría, encontré que la evolución de las redes espinoriales, que describen los estados cuánticos del espacio-tiempo, pueden comportarse de manera fractal bajo ciertas condiciones y la evolución en sí asemeja la representación proyectiva de un plano hiperbólico!, lo que apunta ciertas cualidades particulares del espacio a escalas de Planck. (La figura, también conocida como red de Apolonio, muestra la evolución de una red espinorial.)
Entre estas teorías están las teorías cuánticas de gravitación que buscan aunar los efectos cuánticos y relativistas a todas las escalas del espacio-tiempo y que entre sus proponentes tienen a la teoría de cuerdas, ya citada, y a la teoría de bucles (loop quantum gravity) entre otros. Trabajando hace unos meses en esta última teoría, encontré que la evolución de las redes espinoriales, que describen los estados cuánticos del espacio-tiempo, pueden comportarse de manera fractal bajo ciertas condiciones y la evolución en sí asemeja la representación proyectiva de un plano hiperbólico!, lo que apunta ciertas cualidades particulares del espacio a escalas de Planck. (La figura, también conocida como red de Apolonio, muestra la evolución de una red espinorial.)
Hace unos 150 años Eugenio Beltrami dedujo la equivalencia entre ésta y otras representaciones, cabalmente entre la representación proyectiva y la conformal, lo que ahora podría indicar un posible puente entre una representación perteneciente a la teoría de bucles y otra perteneciente a la teoría de cuerdas, representando éste, si se revela cierto, un camino plausible en el afán de unificar tales teorías. Sin embargo, el mismo sólo es uno de tantos enfoques posibles, pues aquí meramente he querido subrayar la importancia de una geometría que parece subyacer en teorías fundamentales del espacio-tiempo a escalas mínimas y, también, máximas o cosmológicas, lo que seguramente ameritará una próxima nota al respecto.
Avatar 7 - Alicia en el País de las Maravillas Matemáticas
Lewis Carroll, creador de “Alicia en el País de las Maravillas”, tenía por verdadero nombre Charles Lutwidge Dodgson y no era escritor de profesión, sino matemático. Durante la época en que escribió su famoso libro se estaban descubriendo, entre otros hitos matemáticos, las geometrías no-euclidianas de las que la hiperbólica es una de ellas. Dodgson era un matemático tradicionalista y conservador, formado en la escuela de Euclides, y todo indica que las probables alusiones matemáticas que hace en su obra, son todas sátiras mordaces a la nueva matemática de su tiempo .
Por ejemplo, cuando Alicia cae por el hoyo del conejo y come un pastel que la reduce a 3 pulgadas, aparece una oruga que le recomienda comer un hongo para que le devuelva su tamaño, pero debe tener cuidado porque cierta parte del hongo le devolverá su tamaño mientras que otra lo reducirá más… Bueno, el álgebra, que parecía criticar Dodgson, tiene su origen en la palabra árabe al jebr e al mokabala que quiere decir “devolución y reducción”.
Más tarde, cuando Alicia encuentra a la Duquesa y ésta le entrega su bebé, éste se convierte en un cerdo. En esta parte es probable que Dodgson haya criticado la geometría proyectiva y el “principio de continuidad” propuesto por el matemático francés Jean-Victor Poncelet. Es este principio que le permite al bebé deformarse continuamente en un sentido topológico actual.
Luego Alicia llega a la fiesta de té del Sombrero Loco, la Liebre de Marzo y del Lirón. Pero es una reunión desquiciada, los comensales no hacen otra cosa que dar vueltas a la mesa, reacomodándose una y otra vez y, lo que es más, estos sinsentidos parecen no tener fin pues el tiempo que marca el reloj del Sombrerero no corre.
Por ejemplo, cuando Alicia cae por el hoyo del conejo y come un pastel que la reduce a 3 pulgadas, aparece una oruga que le recomienda comer un hongo para que le devuelva su tamaño, pero debe tener cuidado porque cierta parte del hongo le devolverá su tamaño mientras que otra lo reducirá más… Bueno, el álgebra, que parecía criticar Dodgson, tiene su origen en la palabra árabe al jebr e al mokabala que quiere decir “devolución y reducción”.
Más tarde, cuando Alicia encuentra a la Duquesa y ésta le entrega su bebé, éste se convierte en un cerdo. En esta parte es probable que Dodgson haya criticado la geometría proyectiva y el “principio de continuidad” propuesto por el matemático francés Jean-Victor Poncelet. Es este principio que le permite al bebé deformarse continuamente en un sentido topológico actual.
Luego Alicia llega a la fiesta de té del Sombrero Loco, la Liebre de Marzo y del Lirón. Pero es una reunión desquiciada, los comensales no hacen otra cosa que dar vueltas a la mesa, reacomodándose una y otra vez y, lo que es más, estos sinsentidos parecen no tener fin pues el tiempo que marca el reloj del Sombrerero no corre.
Todo indica que Dodgson, esta vez, está criticando el trabajo de William Rowan Hamilton quien había fallecido en 1865 poco después que el libro se publicara. El trabajo aludido es el de los cuaterniones, una piedra fundamental del álgebra abstracta que permite analizar rotaciones algebraicamente. Hamilton había tratado por años de usar tres términos espaciales en vez de los cuatro necesarios a los cuaterniones pero lo único que lograba era rotaciones en el plano. Cuando se rindió a la necesidad final de cuatro términos, quiso encontrar una explicación para ello y se sabe que alguna vez dijo “Me parece natural conectar esta unidad extra espacial con la concepción de tiempo”. Así, los miembros de la fiesta de té son los cuatro términos de los cuaterniones: el Sombrerero, la Liebre y el Lirón, estando ausente el Tiempo que no permite que las rotaciones alrededor de la mesa que efectúan los comensales tenga fin. Y cuando al final el Sombrerero y la Liebre tratan de meter al Lirón en la tetera, lo que los cuaterniones de Hamilton están haciendo es tratar de ser otra vez los acostumbrados y bien conocidos números complejos que sólo tienen dos términos o miembros.
Bueno, nadie niega la magnitud literaria de “Alicia en el País de las Maravillas”. Tal vez si intentamos ponernos en los zapatos de Dodgson, o Carroll, sintamos la perplejidad que tal vez sentía ante la nueva álgebra abstracta o las nuevas geometrías o, tal vez, simplemente debamos responder a “¿En qué se parece un cuervo a un escritorio?”
martes, 15 de febrero de 2011
Avatar 6 - Proyecto “Poltergeist”
El mundo material está compuesto por doce partículas fundamentales: seis quarks y seis leptones. De los seis leptones, tres son neutrinos: e, µ y τ. En 1956, Fred Reines fue el primero en detectar experimentalmente la partícula que Wolfgang Pauli había teorizado 26 años antes, es decir, el neutrino. Siendo ésta una partícula tan elusiva – su mismo nombre indica que no tiene carga –, dado que prácticamente no interactúa con el resto de la materia, Reines optó por nombrar el proyecto “Poltergeist”, que es una palabra de origen alemán, sinónimo de fantasma. En otras palabras su equipo buscaba una partícula que hasta entonces se consideraba un fantasma entre las partículas fundamentales. Tiempo después, John Bahcall calculó el número de neutrinos e producidos en las fusiones nucleares del Sol y, en 1965, Ray Davis se embarcó en la tarea de detectarlos. Sólo que había un problema; Davis sólo detectaba aproximadamente un tercio del número de neutrinos calculados. Esta disparidad entra la teoría y los experimentos no sería resuelta definitivamente los siguientes 30 años y sería conocida como la anomalía del neutrino. Hasta entonces se había creído que los neutrinos no tenían masa y viajaban a la velocidad de la luz (como fotones) y por lo tanto cualquier cambio en sus cualidades intrínsecas, como el sabor (recordemos que con sabor nos referimos a cada especie de neutrino: e, µ y τ), no eran posibles porque para una partícula que viaja a la velocidad de la luz el tiempo está detenido, como sabemos a partir de la teoría de relatividad, y cualquier cambio sólo se produce en el tiempo. Lo que sucede, y entonces nadie sabía, es que los neutrinos sí tienen masa! Esto hace posible que oscilen entre un sabor y otro a lo largo de sus trayectorias. Esa era la razón de por qué se detectaba menos neutrinos de los esperados: si se esperaba un neutrino de un sabor particular se dejaba de detectar los otros dos.
Ahora veamos someramente cómo se producen estas oscilaciones. Los autoestados de sabor (vamos a considerar dos solamente, µ y τ) pueden oscilar entre sí si están compuestos por una mezcla de autoestados de masa, 1 y 2,
$\binom{\nu_\mu}{\nu_\tau}=\left( \begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{array} \right) \binom{\nu_1}{\nu_2}.$
Ahora bien, los autoestados de masa se propagan en el tiempo de acuerdo a la ecuación de Schrödinger,
$\binom{\nu_1(x,t)}{\nu_2(x,t)}= e^{ipx} \binom{e^{-iE_1t}|\nu_1(0)\rangle}{e^{-iE_2t}|\nu_2(0)\rangle},$
$\binom{\nu_1(x,t)}{\nu_2(x,t)}= e^{ipx}\left( \begin{array}{cc}e^{-iE_1t} & 0 \\ 0 & e^{-iE_2t} \\ \end{array} \right) \binom{|\nu_1(0)\rangle}{|\nu_2(0)\rangle}.$
Si se aplica luego esta última relación en la primera relación de autoestados de sabor y de masa y, además, se comienza la propagación con neutrinos µ solamente y ningunos neutrinos τ,
$|\nu_\mu(0)\rangle=1 \land |\nu_\tau(0)\rangle=0 \Longrightarrow ||\nu_\tau(x,t)\rangle|^2=sin^2(2\theta)sin^2(\frac{(E_2-E_1)t}{2}),$
lo que muestra la probabilidad $P(\nu_\mu \longrightarrow \nu_\tau)$ con que algunos de los neutrinos µ han cambiado a neutrinos τ! Además como sabemos que las energías de los neutrinos son mucho mayores que sus masas y con $t\approx |x|=L$ y $p \approx E$ (donde L es la distancia recorrida) se tiene que (trabajando en unidades naturales)
$E_2-E_1 \approx \frac{m_2^2-m_1^2}{2p},$
$P(\nu_\mu \longrightarrow \nu_\tau) \approx sin^2(2\theta)sin^2(\frac{\Delta m^2}{4}\frac{L}{E}),$
lo que permite, también, que la probabilidad de oscilaciones implique una diferencia de masas.
Ahora bien, los autoestados de masa se propagan en el tiempo de acuerdo a la ecuación de Schrödinger,
$\binom{\nu_1(x,t)}{\nu_2(x,t)}= e^{ipx} \binom{e^{-iE_1t}|\nu_1(0)\rangle}{e^{-iE_2t}|\nu_2(0)\rangle},$
$\binom{\nu_1(x,t)}{\nu_2(x,t)}= e^{ipx}\left( \begin{array}{cc}e^{-iE_1t} & 0 \\ 0 & e^{-iE_2t} \\ \end{array} \right) \binom{|\nu_1(0)\rangle}{|\nu_2(0)\rangle}.$
Si se aplica luego esta última relación en la primera relación de autoestados de sabor y de masa y, además, se comienza la propagación con neutrinos µ solamente y ningunos neutrinos τ,
$|\nu_\mu(0)\rangle=1 \land |\nu_\tau(0)\rangle=0 \Longrightarrow ||\nu_\tau(x,t)\rangle|^2=sin^2(2\theta)sin^2(\frac{(E_2-E_1)t}{2}),$
lo que muestra la probabilidad $P(\nu_\mu \longrightarrow \nu_\tau)$ con que algunos de los neutrinos µ han cambiado a neutrinos τ! Además como sabemos que las energías de los neutrinos son mucho mayores que sus masas y con $t\approx |x|=L$ y $p \approx E$ (donde L es la distancia recorrida) se tiene que (trabajando en unidades naturales)
$E_2-E_1 \approx \frac{m_2^2-m_1^2}{2p},$
$P(\nu_\mu \longrightarrow \nu_\tau) \approx sin^2(2\theta)sin^2(\frac{\Delta m^2}{4}\frac{L}{E}),$
lo que permite, también, que la probabilidad de oscilaciones implique una diferencia de masas.
Avatar 6 - Yotsuya Kaidan
Prólogo. El Kamiokande, situado en Kamioka, Japón, fue el primer detector en probar que los neutrinos oscilaban. Prestando respeto a la ciencia y la literatura japonesas y al neutrino – la partícula fantasma – quiero relatarles una obra japonesa escrita por Tsuruya Nanboku para el teatro kabuki hacia 1825.
Acto I. Tamiya Iemon, un ronin, discute con su suegro Yotsuya Samon, el que le sugiere que debe separarse de su hija Oiwa. Enfurecido por ello Iemon asesina a Samon. Naosuke, un charlatán del pueblo, está obsesionado con la hermana de Oiwa, la prostituta Osode, a pesar que ésta está casada con Satô Yomoshichi. En el burdel del pueblo, Naosuke corteja a Osode, pero es sorprendido por Yomoshichi y Takuetsu, el dueño del burdel. Habiendo abandonado el prostíbulo embriagado, confunde a su maestro, Okuda Shôzaburô, y le mata pensando que es Yomoshichi. Esto ocurre al mismo tiempo que Samon es asesinado. Confabulados, Iemon y Naosuke engañan a Oiwa y Osode prometiéndoles encontrar al asesino de su padre a cambio de lo cual Osode es comprometida a entregarse a Naosuke.
Acto II. Oume, la nieta de Itô Kihei, se ha enamorado de Iemon y los Itô deciden hacer a un lado a Oiwa enviándole una crema facial que en realidad en un veneno tópico. Oiwa se aplica la crema y queda desfigurada, tras lo cual Iemón decide que ya no puede permanecer con ella. Pide a Takuetsu que la viole para que él tenga un justificativo para el divorcio. Takuetsu no lo hace pero le muestra a Oiwa su reflejo en un espejo lo que la hace caer en cuenta que ha sido engañada y cogiendo una espada en su histeria corta equivocadamente su propio cuello en un forcejeo con Takuetsu. Se desangra y muere no sin antes maldecir el nombre de Iemon. Poco tiempo después Iemon se compromete a Oume pero en la noche de la boda el fantasma de Oiwa confunde a Iemon y le obliga a asesinar a Oume y a su abuelo.
Acto III. El resto de los miembros de la familia Itô son aniquilados. Iemon, últimamente, empuja a Oyumi, la madre de Oume, al canal Onbô. Naosuke aparece disfrazado de Gonbei, vendedor de anguilas, y chantajea a Iemon pidiéndole un documento valioso de la familia. Reflexionando sobre lo que va a hacer mientras pesca a orillas del Onbô, Iemon es sorprendido por Yomoshichi y Naosuke al mismo tiempo, los que se enfrascan en una pelea por el documento en disputa.
Acto IV. Naosuke sigue furtivamente a Osode quien lava ropa para sobrevivir. La obliga a consumar el pacto convenido, pero Yomoshichi lo ha observado todo y acusa a Osode de adulterio. Ella, opta por el suicidio pero sólo logra herirse mortalmente. Sin embargo, ha dejado una nota en la que explica que su animadversión a Naosuke es porque, realmente, es su hermana menor. Al enterarse de esto Naosuke y viendo que no había asesinado a Yomoshichi sino a su maestro, decide cometer suicidio, pero antes da muerte a Osode, también.
Acto V. Todo concluye con Iemon escapando a la ermita de la Montaña Serpiente donde cree encontrar refugio temporal del fantasma de Oiwa. En un sueño revive la época dorada de samurái, enamorándose, durante una cacería, de una doncella de la que no logra descubrir que no es otra que Oiwa. En su sueño despide a Chôbei, su compañero, para estar con la doncella. Pero todo es una treta de Oiwa para conducirlo al infierno. Sin embargo, Iemon logra escapar del sueño y de la ermita, sólo para encontrar en su camino a Yomoshichi quien lo ejecuta por venganza pero, también, por compasión.
Acto I. Tamiya Iemon, un ronin, discute con su suegro Yotsuya Samon, el que le sugiere que debe separarse de su hija Oiwa. Enfurecido por ello Iemon asesina a Samon. Naosuke, un charlatán del pueblo, está obsesionado con la hermana de Oiwa, la prostituta Osode, a pesar que ésta está casada con Satô Yomoshichi. En el burdel del pueblo, Naosuke corteja a Osode, pero es sorprendido por Yomoshichi y Takuetsu, el dueño del burdel. Habiendo abandonado el prostíbulo embriagado, confunde a su maestro, Okuda Shôzaburô, y le mata pensando que es Yomoshichi. Esto ocurre al mismo tiempo que Samon es asesinado. Confabulados, Iemon y Naosuke engañan a Oiwa y Osode prometiéndoles encontrar al asesino de su padre a cambio de lo cual Osode es comprometida a entregarse a Naosuke.
Acto II. Oume, la nieta de Itô Kihei, se ha enamorado de Iemon y los Itô deciden hacer a un lado a Oiwa enviándole una crema facial que en realidad en un veneno tópico. Oiwa se aplica la crema y queda desfigurada, tras lo cual Iemón decide que ya no puede permanecer con ella. Pide a Takuetsu que la viole para que él tenga un justificativo para el divorcio. Takuetsu no lo hace pero le muestra a Oiwa su reflejo en un espejo lo que la hace caer en cuenta que ha sido engañada y cogiendo una espada en su histeria corta equivocadamente su propio cuello en un forcejeo con Takuetsu. Se desangra y muere no sin antes maldecir el nombre de Iemon. Poco tiempo después Iemon se compromete a Oume pero en la noche de la boda el fantasma de Oiwa confunde a Iemon y le obliga a asesinar a Oume y a su abuelo.
Acto III. El resto de los miembros de la familia Itô son aniquilados. Iemon, últimamente, empuja a Oyumi, la madre de Oume, al canal Onbô. Naosuke aparece disfrazado de Gonbei, vendedor de anguilas, y chantajea a Iemon pidiéndole un documento valioso de la familia. Reflexionando sobre lo que va a hacer mientras pesca a orillas del Onbô, Iemon es sorprendido por Yomoshichi y Naosuke al mismo tiempo, los que se enfrascan en una pelea por el documento en disputa.
Acto IV. Naosuke sigue furtivamente a Osode quien lava ropa para sobrevivir. La obliga a consumar el pacto convenido, pero Yomoshichi lo ha observado todo y acusa a Osode de adulterio. Ella, opta por el suicidio pero sólo logra herirse mortalmente. Sin embargo, ha dejado una nota en la que explica que su animadversión a Naosuke es porque, realmente, es su hermana menor. Al enterarse de esto Naosuke y viendo que no había asesinado a Yomoshichi sino a su maestro, decide cometer suicidio, pero antes da muerte a Osode, también.
Acto V. Todo concluye con Iemon escapando a la ermita de la Montaña Serpiente donde cree encontrar refugio temporal del fantasma de Oiwa. En un sueño revive la época dorada de samurái, enamorándose, durante una cacería, de una doncella de la que no logra descubrir que no es otra que Oiwa. En su sueño despide a Chôbei, su compañero, para estar con la doncella. Pero todo es una treta de Oiwa para conducirlo al infierno. Sin embargo, Iemon logra escapar del sueño y de la ermita, sólo para encontrar en su camino a Yomoshichi quien lo ejecuta por venganza pero, también, por compasión.
Avatar 6 - Neutrinos en "2012"
Los días de esta semana han sido fríos, el mundo parece resquebrajarse bajo las intensas lluvias. En medio de estos sombríos hechos, en esta edición de Avatar haré algunos comentarios sobre el uso de los neutrinos como argumento en la película “2012”.
No creo ser un crítico de cine, aunque como muchos disfruto de algunas horas frente a las pantallas de algún cine local y esbozo opiniones por el placer o disgusto que las películas producen en mí. Hoy, sin embargo, me voy a reservar este tipo de opinión y escribiré sobre el argumento que origina el devastador fin de la humanidad.
Muchos podrán decir que hacer críticas científicas en una película es inapropiado, argumentando que el cine es arte y que no se puede poner barreras a la imaginación. De acuerdo, por eso mi intención no es desacreditar a los escritores de “2012”, sino simplemente delinear las barreras entre la realidad y la ficción.
El gran holocausto se origina, según el guión, debido a un comportamiento anómalo de los neutrinos, los cuales repentinamente logran interaccionar con los átomos del núcleo terrestre provocando una elevación de la temperatura, desencadenando una serie de fenómenos catastróficos que derivarán en la destrucción de la vida en la Tierra.
Los neutrinos, por lo que sabemos actualmente son partículas elementales, que carecen de carga eléctrica y cuya masa es extremadamente pequeña, lo cual implica que su interacción con otras partículas es muy reducida; es decir, que un neutrino interaccione con el planeta, o cualquier ser vivo es casi nula. Los neutrinos prácticamente atraviesan nuestro planeta y a nosotros mismos sin ni siquiera darnos cuenta y sin que suframos ninguna consecuencia por este hecho. Como un ejemplo típico para darnos cuenta de la interacción de los neutrinos podemos afirmar que para detener la mitad de los neutrinos que atraviesan una barra de plomo, la barra debería medir aproximadamente un año-luz.
Sin embargo, se ha teorizado sobre la posibilidad de neutrinos muy energéticos provenientes de alguna estrella en extinción que podrían interaccionar a nivel genético, causando enfermedades y de este modo eliminando la vida en el planeta, aunque que este hecho es muy poco probable.
Otro dato curioso, es que suponiendo que los neutrinos logren interaccionar con el núcleo terrestre, estos deberían dar tal cantidad de energía para elevar la temperatura, que seguramente estos mismos neutrinos ya habrían derretido por completo la superficie terrestre mucho antes de modificar el núcleo.
Finalmente, en la película se atribuye una cantidad excesiva de neutrinos en el año 2012, lo cual es cierto. El sol emite mayores cantidades de neutrinos en ciclos bien definidos de 11 años, siendo el siguiente pico alrededor del 2012. Pero este hecho es muy bien conocido y se ha venido repitiendo continuamente sin que ningún fenómeno extraño ocurra, de hecho las predicciones para este pico solar se espera que sean menores a otras anteriores.
En fin, espero que estos comentarios sirvan para entender mejor a los neutrinos y reconocer en el cine o la literatura los límites de la realidad actual, lo posible y lo muy poco probable.
Avatar 6 - Un actor de la física de neutrinos
En lo que se refiere a neutrinos, seguramente nombres como Fermi, Pauli o Pontecorvo están entre los más conocidos y cuyos trabajos han sido de vital importancia para el desarrollo y conocimiento sobre los neutrinos. En esta oportunidad permítanme escribir sobre un físico a quien tuve el placer de conocer personalmente: Alexei Smirnov.
Smirnov nació en Rusia en 1951 y obtuvo doctorados en ciencias físicas y matemáticas y posteriormente en física teórica. No puedo afirmar que haya sido un amigo íntimo, ni el más adecuado para escribir sobre él; sin embargo, algunas facetas de su personalidad tocaron mi mundo social y científico.
Smirnov adquirió un poco de esa personalidad rusa, que nos lleva a imaginar a una persona con un carácter mas bien rígido. Recuerdo una ocasión donde la alegría del descubrimiento llevó al grupo a soltarse en carcajadas y cuando volteé hacia Smirnov, susurraba “I am very happy”; pero en su rostro no lograba encontrar el mínimo rasgo de felicidad, quizá una mejor descripción sea la foto que comparto con ustedes. Quedé sorprendido, incómodo y hasta algo molesto. Al principio no entendí esta forma de expresión facial; pero el tiempo me enseñó a ver el interior de este ser humano y encontré una persona cálida, humilde y siempre dispuesta a colaborar.
Mikheyev junto a Smirnov, en 1985, publicaron un artículo, expandiendo el trabajo de Wolfenstein, donde hicieron notar que las oscilaciones de neutrinos pueden ser modificadas cuando los neutrinos se propagan a través de la materia. Este efecto ha sido denominado como efecto MSW, el cual es importante para entender los neutrinos emitidos por el Sol, los cuales pasan a través de una densa atmósfera en su trayecto hacia nuestro planeta.
En los años 80 el problema surgió cuando varios grupos experimentales observaron un déficit en la cantidad de neutrinos atmosféricos esperados. Las mediciones no fueron contundentes sino hasta el 2002 cuando el “Subdury Neutrino Observatory” hizo una medición en la cual el número total de neutrinos, de todos los tipos, fueron observados confirmando el fenómeno de oscilación y por lo tanto la necesidad de modificar el modelo estándar. El experimento, corroborado posteriormente por otros laboratorios, muestra que la mayoría de los neutrinos producidos en el interior del Sol son del tipo electrónico y que éstos son transformados en neutrinos tipo muón y tau cuando llegan a la Tierra.
Actualmente Smirnov es uno de los investigadores del staff del ICTP. Smirnov continúa su trabajo con neutrinos y es parte de esta trama que se va forjando día a día. Este pequeño artículo es para agradecer su calidad humana y científica, para con aquellos que intentamos seguir en esta corriente del conocimiento, anhelando aportar algún día con un poco del entendimiento de la naturaleza.
miércoles, 2 de febrero de 2011
Avatar 5 - Palíndromo en las palabras
El profesor Jones había estado trabajando en la teoría del tiempo durante muchos años.
-Y he encontrado la ecuación clave –le dijo a su hija un día-, el tiempo es un campo. Esta máquina que hice puede manipular, inclusive revertir el tiempo.
Oprimiendo un botón al hablar dijo: Esto debería hacer que el tiempo camine hacia atrás hacia camine tiempo el que hacer debería esto: dijo hablar al botón un oprimiendo.
Tiempo el revertir inclusive, manipular puede hice que máquina esta. campo un es tiempo el, –día un hija su a dijo le- clave ecuación la encontrado he y-.
Años muchos durante tiempo del teoría la en trabajando estado había Jones profesor el.
-Y he encontrado la ecuación clave –le dijo a su hija un día-, el tiempo es un campo. Esta máquina que hice puede manipular, inclusive revertir el tiempo.
Oprimiendo un botón al hablar dijo: Esto debería hacer que el tiempo camine hacia atrás hacia camine tiempo el que hacer debería esto: dijo hablar al botón un oprimiendo.
Tiempo el revertir inclusive, manipular puede hice que máquina esta. campo un es tiempo el, –día un hija su a dijo le- clave ecuación la encontrado he y-.
Años muchos durante tiempo del teoría la en trabajando estado había Jones profesor el.
Avatar 5 - Simetría bilateral en la creación
Una de las simetrías más evidentes, es la llamada simetría bilateral o también conocida como especular. Posiblemente una de las más sencillas y por ello quizá una de las más bellas. La simetría bilateral está presente por doquiera, incluso nosotros mismos la poseemos. Esta simetría, en el cuerpo humano consiste, en que una parte del cuerpo se corresponde con la contra lateral; es decir, la parte izquierda es semejante a la derecha.
Mientras recorría las páginas del libro que me acompaña estas semanas, me encontré con un caso curioso de esta simetría tan famosa. Quién iba a imaginar que la encontraría en medio de las tradiciones judeo-cristianas. El libro del Génesis afirma: “Y creó Dios al hombre a su imagen, a imagen de Dios le creó, varón y hembra”. Esta frase ha llevado a varias interpretaciones y se han dado principalmente dos hipótesis. La primera afirma que la frase alude a la creación de un ser andrógino; es decir, un ser con las partes masculina y femenina equivalentes. La otra interpretación lleva a pensar que Dios, a partir de la misma materia, insufló el soplo de vida, creando al primer ente masculino (Adán) y al primer ser femenino (¿?). El mismo Génesis, en un capítulo posterior, afirma que Dios creó a la mujer a partir de una costilla de Adán, pero esta vez, en condiciones diferentes o como se consideró por mucho tiempo en los debates de la Iglesia Católica, en forma inferior a la del hombre. No fue sino hasta el Concilio de Nicea donde por fin se aceptó que la mujer tenía alma, puesto que según los escritos del Génesis, no se mencionaba que Dios la haya dotado de una.
Retornemos al primer ente femenino que, por lo visto, no podía ser Eva, ya que la primera mujer no fue creada de la costilla de Adán, sino de igual modo que el primer hombre. Algunas explicaciones han sido encontradas por diversos autores como Yehuda Bar Rabbi en el siglo III o en el texto del siglo V, Génesis Rabba, que es un midrás sobre el libro del Génesis, y otros más que creen que la primera mujer fue la llamada Lilith.
Claro que si indagamos más atrás en el tiempo, veremos que este nombre es una herencia mesopotámica de Lilitu y Lili, demonios femeninos de esa cultura, cuyos nombres fueron llevados por los judíos exiliados en Babilonia. Las escrituras talmúdicas cuentan que Lilith protagonizó la primera disputa de pareja con Adán. Aquella riña surgió al momento de hacer el amor, puesto que Lilith se negaba a estar en la posición por debajo del hombre. Adán exige: “Tú debes someterte a mí, yo soy superior” mas Lilith responde: “Somos iguales, fuimos creados de la misma tierra”. Lilith, molesta, decide revelarse y abandona a Adán y al paraíso, convirtiéndose a partir de entonces en un símbolo demoníaco y a la que se han atribuido todo tipo de características malignas y oscuras. (Aunque, claro, también ha sido un símbolo para las interminables disputas feministas y machistas, pero este tema deberá ser abordado por otros y en otro lugar.) Muchos autores han recurrido al nombre de Lilith, generalmente como un ser endemoniado que anda en busca del semen que el hombre expulsa mientras duerme. Recientemente encontré el nombre de Lilith en medio de las páginas del genial Saramago, en su obra Caín. Allí Lilith se convierte en la amante insaciable del marcado Caín.
Creencias, leyendas, verdades o simplemente una intrincada historia que aún sigue escribiéndose. Lo cierto es que la historia del Génesis adolecía de la falta de simetría bilateral en el momento de la creación del hombre y la mujer. Quizá los estudiosos de estas lecturas quisieron dotar a sus creencias de una mayor belleza al introducir a Lilith y por lo tanto la simetría bilateral.
Lilith. John Collier (1892).
Avatar 5 - Función de calibre explícita entre las condiciones de Coulomb y Lorenz
El presente artículo no pretende ser un trabajo original, simplemente una recopilación de información que trata de responder a una curiosidad implantada antaño. En aquellos años cuando cursaba las materias de electromagnetismo aparecieron las transformaciones llamadas de calibre o tal vez más conocidas como transformaciones gauge. En general los docentes o los propios libros de texto presentaban las condiciones de calibre sin mayor explicación con la única información de que la física no era alterada por la elección del calibre. Los calibres más utilizados son los conocidos como calibre de Coulomb ($\nabla \cdot A=0$) o el de Lorenz ($\partial_\mu A^\mu$). En este artículo se presenta una relación explícita entre estas dos condiciones de calibre, mediante la obtención de la función de calibre $\chi(x,t)$ que relaciona ambas propuestas.
En el estudio del electromagnetismo es muy útil el uso del potencial escalar $\phi(x,t)$ y del vector potencial $A(x,t)$, de los cuales los campos electromagnéticos pueden ser determinados de manera única a través de
$E(x,t)=-\nabla \phi(x,t)-\frac{1}{c}\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}$ (1)
$B(x,t)=\nabla \times A(x,t)$ (1)
Es sabido que si se añade el gradiente de una función escalar al vector potencial, el campo magnético queda inalterado; sin embargo, tal hecho modifica el campo eléctrico, por lo cual, se debe también cambiar el potencial escalar. Siendo las transformaciones de calibre
$\phi \prime (x,t)=\phi(x,t)-\frac{1}{c}\frac{\partial \chi(x,t)}{\partial t}$ (2)
$A \prime (x,t)=A(x,t)-\nabla \chi(x,t)$ (2)
Las propuestas de calibre de Coulomb y de Lorenz, conducen a resultados equivalentes en los campos electromagnéticos, siendo posible hallar la función $\chi (x,t)$ que relacione ambas condiciones. Utilizando el calibre de Lorenz se obtienen dos ecuaciones de onda desacopladas, a saber
$\nabla^2 \phi_L-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi_L}{\partial t^2}=-4\pi\rho$
$\nabla^2 A_L-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_L}{\partial t^2}=-\frac{4\pi J}{c}$
cuyas soluciones son denominadas retardadas,
$\phi_L(x,t)=\int d^3x\prime \frac{1}{R}[\rho(x\prime,t\prime)]$
$A_L(x,t)=\int d^3x\prime \frac{1}{R}[J(x\prime,t\prime)]$
donde $R=|x-x\prime|$ y el tiempo $t\prime =t-\frac{R}{c}$ es el llamado tiempo de retardación, el cual está relacionado con la velocidad a la cual se transmite la información a través del potencial escalar. En el caso del calibre de Coulomb la velocidad es infinita y en el de Lorenz la velocidad es igual a $c$.
Por otro lado si se utiliza el calibre de Coulomb o también llamado calibre transversal se obtiene una ecuación sencilla para el potencial escalar
$\nabla^2 \phi_C=-4\pi\rho$
cuya solución es el potencial escalar instantáneo
$\phi_C(x,t)=\int d^3x\prime\frac{1}{R}[\rho(x\prime,t)]$
Por el contrario, para el potencial vector se tiene una ecuación muy complicada
$\nabla^2A_C-\frac{1}{c^2}\frac{\partial A_C}{\partial t^2}=-\frac{4\pi}{c}[J-\frac{1}{4\pi}\nabla\frac{\partial \phi_C}{\partial t}]$
Para poder determinar la función de calibre, $\chi(x,t)$, que transforma los potenciales calibrados con la propuesta de Coulomb en los potenciales bajo el calibre de Lorenz, se recurre a las ecuaciones (2)
$\frac{1}{c}\frac{\partial \chi_C(x,t)}{\partial t}=\phi_L(x,t)-\phi_C(x,t)$
Después de integrar ambos miembros respecto al tiempo se obtiene
$\chi_C(x,t)=c\int d^3x\prime\frac{1}{R}[\int_{t_0}^{t-\frac{R}{c}}dt\prime\rho(x\prime,t\prime)-\int_{t_0}^t dt\prime \rho(x\prime,t\prime)]+\chi_0$
la cual puede ser simplificada como
$\chi_C(x,t)=c\int d^3x\prime\frac{1}{R}\int_t^{t-\frac{R}{c}}dt\prime\rho(x\prime,t\prime)+\chi_0$
Esta es la función de calibre buscada, donde $\chi_0$ es una función que solo depende del tiempo. Finalmente para poder encontrar el potencial vector bajo el calibre de Coulomb $A_C$ sólo se necesita sumar el gradiente de la función de calibre encontrada con el potencial vector $A_L$.
En el estudio del electromagnetismo es muy útil el uso del potencial escalar $\phi(x,t)$ y del vector potencial $A(x,t)$, de los cuales los campos electromagnéticos pueden ser determinados de manera única a través de
$E(x,t)=-\nabla \phi(x,t)-\frac{1}{c}\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}$ (1)
$B(x,t)=\nabla \times A(x,t)$ (1)
Es sabido que si se añade el gradiente de una función escalar al vector potencial, el campo magnético queda inalterado; sin embargo, tal hecho modifica el campo eléctrico, por lo cual, se debe también cambiar el potencial escalar. Siendo las transformaciones de calibre
$\phi \prime (x,t)=\phi(x,t)-\frac{1}{c}\frac{\partial \chi(x,t)}{\partial t}$ (2)
$A \prime (x,t)=A(x,t)-\nabla \chi(x,t)$ (2)
Las propuestas de calibre de Coulomb y de Lorenz, conducen a resultados equivalentes en los campos electromagnéticos, siendo posible hallar la función $\chi (x,t)$ que relacione ambas condiciones. Utilizando el calibre de Lorenz se obtienen dos ecuaciones de onda desacopladas, a saber
$\nabla^2 \phi_L-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi_L}{\partial t^2}=-4\pi\rho$
$\nabla^2 A_L-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_L}{\partial t^2}=-\frac{4\pi J}{c}$
cuyas soluciones son denominadas retardadas,
$\phi_L(x,t)=\int d^3x\prime \frac{1}{R}[\rho(x\prime,t\prime)]$
$A_L(x,t)=\int d^3x\prime \frac{1}{R}[J(x\prime,t\prime)]$
donde $R=|x-x\prime|$ y el tiempo $t\prime =t-\frac{R}{c}$ es el llamado tiempo de retardación, el cual está relacionado con la velocidad a la cual se transmite la información a través del potencial escalar. En el caso del calibre de Coulomb la velocidad es infinita y en el de Lorenz la velocidad es igual a $c$.
Por otro lado si se utiliza el calibre de Coulomb o también llamado calibre transversal se obtiene una ecuación sencilla para el potencial escalar
$\nabla^2 \phi_C=-4\pi\rho$
cuya solución es el potencial escalar instantáneo
$\phi_C(x,t)=\int d^3x\prime\frac{1}{R}[\rho(x\prime,t)]$
Por el contrario, para el potencial vector se tiene una ecuación muy complicada
$\nabla^2A_C-\frac{1}{c^2}\frac{\partial A_C}{\partial t^2}=-\frac{4\pi}{c}[J-\frac{1}{4\pi}\nabla\frac{\partial \phi_C}{\partial t}]$
Para poder determinar la función de calibre, $\chi(x,t)$, que transforma los potenciales calibrados con la propuesta de Coulomb en los potenciales bajo el calibre de Lorenz, se recurre a las ecuaciones (2)
$\frac{1}{c}\frac{\partial \chi_C(x,t)}{\partial t}=\phi_L(x,t)-\phi_C(x,t)$
Después de integrar ambos miembros respecto al tiempo se obtiene
$\chi_C(x,t)=c\int d^3x\prime\frac{1}{R}[\int_{t_0}^{t-\frac{R}{c}}dt\prime\rho(x\prime,t\prime)-\int_{t_0}^t dt\prime \rho(x\prime,t\prime)]+\chi_0$
la cual puede ser simplificada como
$\chi_C(x,t)=c\int d^3x\prime\frac{1}{R}\int_t^{t-\frac{R}{c}}dt\prime\rho(x\prime,t\prime)+\chi_0$
Esta es la función de calibre buscada, donde $\chi_0$ es una función que solo depende del tiempo. Finalmente para poder encontrar el potencial vector bajo el calibre de Coulomb $A_C$ sólo se necesita sumar el gradiente de la función de calibre encontrada con el potencial vector $A_L$.
martes, 1 de febrero de 2011
Avatar 5 - Niels Henrik Abel (1802 – 1829), Diario autobiográfico (1)
5 de agosto de 1802
He nacido en Nedstrand, hoy Noruega.
8 de octubre de 1815 (2)
Me han enviado a Christiania a proseguir mis estudios.
13 de noviembre de 1817
El profesor Bader ha golpeado tan violentamente a uno de mis compañeros quien ha muerto ocho días después. Mis compañeros y yo no pensamos volver más a esa clase.
21 de noviembre de 1817
El Sr. Holmboe, nuevo profesor de Matemática, me da clases particulares y me ha sugerido algunos buenos libros al respecto (3).
4 de abril de 1823
He publicado por primera vez y me gustaría viajar a Paris o a Göttingen para estudiar con los grandes pero mi situación económica es precaria.
25 de junio de 1823
He viajado a Copenhagen. He conocido a Ferdinand Degen, el matemático. Estoy viviendo en Christianshavn y en un baile, allá, he conocido a Christine (4).
29 de marzo de 1824
Parece que todo mejora. El gobierno me ha otorgado una beca de dos años y la posibilidad de viajar por Europa por otros dos años más. También he pagado de mi bolsillo la publicación de mi trabajo sobre la ecuación quíntica pero no ha recibido aún la repercusión que esperaba.
24 de septiembre de 1825
Después de escribir una carta al mismísimo rey Karl Johan, por fin parto hacia Alemania, pero he decidido ir a Berlín antes que a Göttingen. He conocido a August Leopold Crelle que ha quedado en publicar mis trabajos en una revista que verá la luz el próximo año.
23 de julio de 1826
Paris: por fin he llegado al punto focal de todas mis esperanzas matemáticas (5).
17 de octubre de 1826
He entregado a la Academia de París lo que he denominado tratado de Paris (6). En él trato un teorema de adición para integrales elípticas.
10 de diciembre de 1826
Tengo tos y fiebre. Quiero regresar a mi país. El tratado de París ha debido perderse porque no ha recibido atención alguna.
27 de mayo de 1827
De vuelta a Noruega todos piensan que mi viaje por Europa ha sido un fracaso. No he podido publicar en París y tampoco no he podido ver a Gauss en Göttingen.
7 de julio de 1828
He estado enseñando en la Universidad de Christiania en ausencia del Profesor Hansteen pero no hay un puesto fijo para mí. Sin embargo, parece que me ofrecen un puesto en Berlín donde espero poder establecerme con mi novia.
4 de octubre de 1828
No he tenido noticias de Berlín y he estado enfermo en cama.
11 de enero de 1829
Dios y la ciencia me han abandonado. Me preocupa qué será de Christine y por ello he pedido a mi buen amigo Keilhau que cuide de ella si algo me sucediese. También he logrado escribir nuevamente dos o tres página del tratado de París (7).
He nacido en Nedstrand, hoy Noruega.
8 de octubre de 1815 (2)
Me han enviado a Christiania a proseguir mis estudios.
13 de noviembre de 1817
El profesor Bader ha golpeado tan violentamente a uno de mis compañeros quien ha muerto ocho días después. Mis compañeros y yo no pensamos volver más a esa clase.
21 de noviembre de 1817
El Sr. Holmboe, nuevo profesor de Matemática, me da clases particulares y me ha sugerido algunos buenos libros al respecto (3).
4 de abril de 1823
He publicado por primera vez y me gustaría viajar a Paris o a Göttingen para estudiar con los grandes pero mi situación económica es precaria.
25 de junio de 1823
He viajado a Copenhagen. He conocido a Ferdinand Degen, el matemático. Estoy viviendo en Christianshavn y en un baile, allá, he conocido a Christine (4).
29 de marzo de 1824
Parece que todo mejora. El gobierno me ha otorgado una beca de dos años y la posibilidad de viajar por Europa por otros dos años más. También he pagado de mi bolsillo la publicación de mi trabajo sobre la ecuación quíntica pero no ha recibido aún la repercusión que esperaba.
24 de septiembre de 1825
Después de escribir una carta al mismísimo rey Karl Johan, por fin parto hacia Alemania, pero he decidido ir a Berlín antes que a Göttingen. He conocido a August Leopold Crelle que ha quedado en publicar mis trabajos en una revista que verá la luz el próximo año.
23 de julio de 1826
Paris: por fin he llegado al punto focal de todas mis esperanzas matemáticas (5).
17 de octubre de 1826
He entregado a la Academia de París lo que he denominado tratado de Paris (6). En él trato un teorema de adición para integrales elípticas.
10 de diciembre de 1826
Tengo tos y fiebre. Quiero regresar a mi país. El tratado de París ha debido perderse porque no ha recibido atención alguna.
27 de mayo de 1827
De vuelta a Noruega todos piensan que mi viaje por Europa ha sido un fracaso. No he podido publicar en París y tampoco no he podido ver a Gauss en Göttingen.
7 de julio de 1828
He estado enseñando en la Universidad de Christiania en ausencia del Profesor Hansteen pero no hay un puesto fijo para mí. Sin embargo, parece que me ofrecen un puesto en Berlín donde espero poder establecerme con mi novia.
4 de octubre de 1828
No he tenido noticias de Berlín y he estado enfermo en cama.
11 de enero de 1829
Dios y la ciencia me han abandonado. Me preocupa qué será de Christine y por ello he pedido a mi buen amigo Keilhau que cuide de ella si algo me sucediese. También he logrado escribir nuevamente dos o tres página del tratado de París (7).
Avatar 5 - De teoría de teorías
Hoy quiero hablarles sobre algunas teorías matemáticas que subyacen en algunas teorías físicas. El origen de ellas probablemente se encuentre en las ecuaciones algebraicas de las que generalmente aprendemos a resolver las lineales y cuadráticas. Para los que tienen la oportunidad de trabajar con ecuaciones de mayor grado, que de modo más general son polinomios, se presenta la necesidad de estudiar la imposibilidad de resolución de la ecuación quíntica o de grado quinto, hecho demostrado independientemente por Galois y Abel. Precisamente ese fue el inicio de la teoría de grupos que es la primera teoría que quiero tratar.
Un grupo es una estructura algebraica cuyos elementos incluyen uno inverso y otro neutro y, además, cumplen las reglas de clausura y asociatividad bajo una operación dada. Los grupos que describen simetrías son, probablemente, los más importantes para la física, por ejemplo, el grupo de Lorentz que es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo de Minkowski. De manera similar, en mecánica cuántica la descripción de un sistema se da mediante Hψ=Eψ, donde H es el hamiltoniano, ψ es la autofunción del sistema y E es el autovalor de energía correspondiente, y, entonces, el conjunto de operadores que conmutan con H es un grupo llamado el grupo de simetría del hamiltoniano. Actualmente resta empezar a estudiar las probables simetrías de cualesquiera teorías cuántico-gravitacionales y eso nos lleva a la segunda teoría que quiero tratar.
Las redes espinoriales son redes que describen estados base para la representación de bucles de la gravedad cuántica canónica no perturbativa o Loop Quantum Gravity. Resulta que un objeto central en esta descripción son conjuntos de espines que forman tetrahedros que siguen las reglas que ya Ponzano, Regge y Penrose desarrollaron para su cálculo y manipulación. Ahora bien, una manera de ver estos tetrahedros es como símplices que a su vez representan morfismos. Por ejemplo, el segmento de línea que se extiende de un punto a otro es un morfismo simple, los segmentos de línea o bordes que unen los tres puntos que son los vértices de un triángulo son bimorfismos, los bordes de un tetrahedro entre los cuatro puntos que lo conforman son trimorfismos, etc. Lo que sucede es que en la teoría de categorías estos puntos son llamados objetos y los bordes son llamados flechas o morfismos (que en realidad son funciones). Así, la teoría de categorías es últimamente un álgebra abstracta de funciones que en este caso puede explicar de una forma más amplia lo verdaderamente fundamental en las redes espinoriales. Baez y otros han estado en la tarea de categorizar diversas teorías físicas, lo que anteriormente ha tenido éxito tal cual es el caso de los diagramas de Feynman que no son otra cosa que la categorificación de la interacción entre partículas elementales. Nuevamente, la tendencia actual es categorificar las relaciones estructurales de cualesquiera teorías cuántico-gravitacionales, porque al hacerlo podríamos tener una imagen mayor (matemáticamente se dice que se gana una dimensión en el sentido literal) de lo fundamental en tales teorías. Esto nos lleva a la tercera y última teoría que quiero tratar.
Para tender un puente entre la teoría de grupos y la teoría de categorías precisamos de la teoría de representaciones. Por ejemplo, cuando hemos hablado de grupo, nos hemos preguntado: para un espacio-tiempo dado ¿cuál es el grupo de transformaciones posibles? En el caso de la teoría de representaciones la pregunta es inversa: dada una transformación ¿cuáles son los espacio-tiempos a los que se puede aplicar tal transformación? Más formalmente esta teoría es el estudio de estructuras algebraicas representando sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales. Pero es más, los objetos algebraicos a los que esta teoría se puede aplicar pueden ser vistos como un tipo especial de categorías y las representaciones como funcionores de la categoría de objetos a la categoría de espacios vectoriales. Y he ahí el puente que buscábamos.
Por ende los desarrollos matemáticos o físicos ya no tienen por qué ser lineales. El uso de estas tres teorías en cualesquiera hipótesis cuántico-gravitacionales tiene, incluso, la forma de un bimorfismo que se puede entender como una teoría de teorías.
Un grupo es una estructura algebraica cuyos elementos incluyen uno inverso y otro neutro y, además, cumplen las reglas de clausura y asociatividad bajo una operación dada. Los grupos que describen simetrías son, probablemente, los más importantes para la física, por ejemplo, el grupo de Lorentz que es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo de Minkowski. De manera similar, en mecánica cuántica la descripción de un sistema se da mediante Hψ=Eψ, donde H es el hamiltoniano, ψ es la autofunción del sistema y E es el autovalor de energía correspondiente, y, entonces, el conjunto de operadores que conmutan con H es un grupo llamado el grupo de simetría del hamiltoniano. Actualmente resta empezar a estudiar las probables simetrías de cualesquiera teorías cuántico-gravitacionales y eso nos lleva a la segunda teoría que quiero tratar.
Las redes espinoriales son redes que describen estados base para la representación de bucles de la gravedad cuántica canónica no perturbativa o Loop Quantum Gravity. Resulta que un objeto central en esta descripción son conjuntos de espines que forman tetrahedros que siguen las reglas que ya Ponzano, Regge y Penrose desarrollaron para su cálculo y manipulación. Ahora bien, una manera de ver estos tetrahedros es como símplices que a su vez representan morfismos. Por ejemplo, el segmento de línea que se extiende de un punto a otro es un morfismo simple, los segmentos de línea o bordes que unen los tres puntos que son los vértices de un triángulo son bimorfismos, los bordes de un tetrahedro entre los cuatro puntos que lo conforman son trimorfismos, etc. Lo que sucede es que en la teoría de categorías estos puntos son llamados objetos y los bordes son llamados flechas o morfismos (que en realidad son funciones). Así, la teoría de categorías es últimamente un álgebra abstracta de funciones que en este caso puede explicar de una forma más amplia lo verdaderamente fundamental en las redes espinoriales. Baez y otros han estado en la tarea de categorizar diversas teorías físicas, lo que anteriormente ha tenido éxito tal cual es el caso de los diagramas de Feynman que no son otra cosa que la categorificación de la interacción entre partículas elementales. Nuevamente, la tendencia actual es categorificar las relaciones estructurales de cualesquiera teorías cuántico-gravitacionales, porque al hacerlo podríamos tener una imagen mayor (matemáticamente se dice que se gana una dimensión en el sentido literal) de lo fundamental en tales teorías. Esto nos lleva a la tercera y última teoría que quiero tratar.
Para tender un puente entre la teoría de grupos y la teoría de categorías precisamos de la teoría de representaciones. Por ejemplo, cuando hemos hablado de grupo, nos hemos preguntado: para un espacio-tiempo dado ¿cuál es el grupo de transformaciones posibles? En el caso de la teoría de representaciones la pregunta es inversa: dada una transformación ¿cuáles son los espacio-tiempos a los que se puede aplicar tal transformación? Más formalmente esta teoría es el estudio de estructuras algebraicas representando sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales. Pero es más, los objetos algebraicos a los que esta teoría se puede aplicar pueden ser vistos como un tipo especial de categorías y las representaciones como funcionores de la categoría de objetos a la categoría de espacios vectoriales. Y he ahí el puente que buscábamos.
Por ende los desarrollos matemáticos o físicos ya no tienen por qué ser lineales. El uso de estas tres teorías en cualesquiera hipótesis cuántico-gravitacionales tiene, incluso, la forma de un bimorfismo que se puede entender como una teoría de teorías.
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