Avatar 5 - Función de calibre explícita entre las condiciones de Coulomb y Lorenz

El presente artículo no pretende ser un trabajo original, simplemente una recopilación de información que trata de responder a una curiosidad implantada antaño. En aquellos años cuando cursaba las materias de electromagnetismo aparecieron las transformaciones llamadas de calibre o tal vez más conocidas como transformaciones gauge. En general los docentes o los propios libros de texto presentaban las condiciones de calibre sin mayor explicación con la única información de que la física no era alterada por la elección del calibre. Los calibres más utilizados  son los conocidos como calibre de Coulomb ($\nabla \cdot A=0$) o el de Lorenz ($\partial_\mu A^\mu$). En este artículo se presenta una relación explícita entre estas dos condiciones de calibre, mediante la obtención de la función de calibre $\chi(x,t)$ que relaciona ambas propuestas.

En el estudio del electromagnetismo es muy útil el uso del potencial escalar $\phi(x,t)$ y del vector potencial $A(x,t)$, de los cuales los campos electromagnéticos pueden ser determinados de manera única a través de

$E(x,t)=-\nabla \phi(x,t)-\frac{1}{c}\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}$ (1)
$B(x,t)=\nabla \times A(x,t)$ (1)

Es sabido que si se añade el gradiente de una función escalar al vector potencial, el campo magnético queda inalterado; sin embargo, tal hecho modifica el campo eléctrico, por lo cual, se debe también cambiar el potencial escalar. Siendo las transformaciones de calibre

$\phi \prime (x,t)=\phi(x,t)-\frac{1}{c}\frac{\partial \chi(x,t)}{\partial t}$ (2)
$A \prime (x,t)=A(x,t)-\nabla \chi(x,t)$ (2)

Las propuestas de calibre de Coulomb y de Lorenz, conducen a resultados equivalentes en los campos electromagnéticos, siendo posible hallar la función $\chi (x,t)$ que relacione ambas condiciones. Utilizando el calibre de Lorenz se obtienen dos ecuaciones de onda desacopladas, a saber

$\nabla^2 \phi_L-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi_L}{\partial t^2}=-4\pi\rho$
$\nabla^2 A_L-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_L}{\partial t^2}=-\frac{4\pi J}{c}$

cuyas soluciones son denominadas retardadas,

$\phi_L(x,t)=\int d^3x\prime \frac{1}{R}[\rho(x\prime,t\prime)]$
$A_L(x,t)=\int d^3x\prime \frac{1}{R}[J(x\prime,t\prime)]$

donde $R=|x-x\prime|$ y el tiempo $t\prime =t-\frac{R}{c}$ es el llamado tiempo de retardación, el cual está relacionado con la velocidad a la cual se transmite la información a través del potencial escalar. En el caso del calibre de Coulomb la velocidad es infinita y en el de Lorenz la velocidad es igual a $c$.

Por otro lado si se utiliza el calibre de Coulomb o también llamado calibre transversal se obtiene una ecuación sencilla para el potencial escalar

$\nabla^2 \phi_C=-4\pi\rho$

cuya solución es el potencial escalar instantáneo

$\phi_C(x,t)=\int d^3x\prime\frac{1}{R}[\rho(x\prime,t)]$

Por el contrario, para el potencial vector se tiene una ecuación muy complicada

$\nabla^2A_C-\frac{1}{c^2}\frac{\partial A_C}{\partial t^2}=-\frac{4\pi}{c}[J-\frac{1}{4\pi}\nabla\frac{\partial \phi_C}{\partial t}]$

Para poder determinar la función de calibre, $\chi(x,t)$, que transforma los potenciales calibrados con la propuesta de Coulomb en los potenciales bajo el calibre de Lorenz, se recurre a las ecuaciones (2)

$\frac{1}{c}\frac{\partial \chi_C(x,t)}{\partial t}=\phi_L(x,t)-\phi_C(x,t)$

Después de integrar ambos miembros respecto al tiempo se obtiene

$\chi_C(x,t)=c\int d^3x\prime\frac{1}{R}[\int_{t_0}^{t-\frac{R}{c}}dt\prime\rho(x\prime,t\prime)-\int_{t_0}^t dt\prime \rho(x\prime,t\prime)]+\chi_0$

la cual puede ser simplificada como

$\chi_C(x,t)=c\int d^3x\prime\frac{1}{R}\int_t^{t-\frac{R}{c}}dt\prime\rho(x\prime,t\prime)+\chi_0$

Esta es la función de calibre buscada, donde $\chi_0$ es una función que solo depende del tiempo. Finalmente para poder encontrar el potencial vector bajo el calibre de Coulomb $A_C$ sólo se necesita sumar el gradiente de la función de calibre encontrada con el potencial vector $A_L$.