Avatar 6 - Proyecto “Poltergeist”

El mundo material está compuesto por doce partículas fundamentales: seis quarks y seis leptones. De los seis leptones, tres son neutrinos: e, µ y τ. En 1956, Fred Reines fue el primero en detectar experimentalmente la partícula que Wolfgang Pauli había teorizado 26 años antes, es decir, el neutrino. Siendo ésta una partícula tan elusiva – su mismo nombre indica que no tiene carga –, dado que prácticamente no interactúa con el resto de la materia, Reines optó por nombrar el proyecto “Poltergeist”, que es una palabra de origen alemán, sinónimo de fantasma. En otras palabras su equipo buscaba una partícula que hasta entonces se consideraba un fantasma entre las partículas fundamentales. Tiempo después, John Bahcall calculó el número de neutrinos e producidos en las fusiones nucleares del Sol y, en 1965,  Ray Davis se embarcó en la tarea de detectarlos. Sólo que había un problema; Davis sólo detectaba aproximadamente un tercio del número de neutrinos calculados. Esta disparidad entra la teoría y los experimentos no sería resuelta definitivamente los siguientes 30 años y sería conocida como la anomalía del neutrino. Hasta entonces se había creído que los neutrinos no tenían masa y viajaban a la velocidad de la luz (como fotones) y por lo tanto cualquier cambio en sus cualidades intrínsecas, como el sabor (recordemos que con sabor nos referimos a cada especie de neutrino: e, µ y τ), no eran posibles porque para una partícula que viaja a la velocidad de la luz el tiempo está detenido, como sabemos a partir de la teoría de relatividad, y cualquier cambio sólo se produce en el tiempo. Lo que sucede, y entonces nadie sabía, es que los neutrinos sí tienen masa! Esto hace posible que oscilen entre un sabor y otro a lo largo de sus trayectorias. Esa era la razón de por qué se detectaba menos neutrinos de los esperados: si se esperaba un neutrino de un sabor particular se dejaba de detectar los otros dos.

Ahora veamos someramente cómo se producen estas oscilaciones. Los autoestados de sabor (vamos a considerar dos solamente, µ y τ) pueden oscilar entre sí si están compuestos por una mezcla de autoestados de masa, 1 y 2,

$\binom{\nu_\mu}{\nu_\tau}=\left( \begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{array} \right) \binom{\nu_1}{\nu_2}.$

Ahora bien, los autoestados de masa se propagan en el tiempo de acuerdo a la ecuación de Schrödinger,

$\binom{\nu_1(x,t)}{\nu_2(x,t)}= e^{ipx} \binom{e^{-iE_1t}|\nu_1(0)\rangle}{e^{-iE_2t}|\nu_2(0)\rangle},$
$\binom{\nu_1(x,t)}{\nu_2(x,t)}= e^{ipx}\left( \begin{array}{cc}e^{-iE_1t} & 0 \\ 0 & e^{-iE_2t} \\ \end{array} \right) \binom{|\nu_1(0)\rangle}{|\nu_2(0)\rangle}.$

Si se aplica luego esta última relación en la primera relación de autoestados de sabor y de masa y, además, se comienza la propagación con neutrinos µ solamente y ningunos neutrinos τ,

$|\nu_\mu(0)\rangle=1 \land |\nu_\tau(0)\rangle=0 \Longrightarrow ||\nu_\tau(x,t)\rangle|^2=sin^2(2\theta)sin^2(\frac{(E_2-E_1)t}{2}),$

lo que muestra la probabilidad $P(\nu_\mu \longrightarrow \nu_\tau)$ con que algunos de los neutrinos µ han cambiado a neutrinos τ! Además como sabemos que las energías de los neutrinos son mucho mayores que sus masas y con $t\approx |x|=L$ y $p \approx E$ (donde L es la distancia recorrida) se tiene que (trabajando en unidades naturales)

$E_2-E_1 \approx \frac{m_2^2-m_1^2}{2p},$
$P(\nu_\mu \longrightarrow \nu_\tau) \approx sin^2(2\theta)sin^2(\frac{\Delta m^2}{4}\frac{L}{E}),$

lo que permite, también, que la probabilidad de oscilaciones implique una diferencia de masas.

Avatar 6 - Yotsuya Kaidan

Prólogo. El Kamiokande, situado en Kamioka, Japón, fue el primer detector en probar que los neutrinos oscilaban. Prestando respeto a la ciencia y la literatura japonesas y al neutrino – la partícula fantasma – quiero relatarles una obra japonesa escrita por Tsuruya Nanboku para el teatro kabuki hacia 1825.

Acto I. Tamiya Iemon, un ronin, discute con su suegro Yotsuya Samon, el que le sugiere que debe separarse de su hija Oiwa. Enfurecido por ello Iemon asesina a Samon. Naosuke, un charlatán del pueblo, está obsesionado con la hermana de Oiwa, la prostituta Osode, a pesar que ésta está casada con Satô Yomoshichi. En el burdel del pueblo, Naosuke corteja a Osode, pero es sorprendido por Yomoshichi y Takuetsu, el dueño del burdel. Habiendo abandonado el prostíbulo embriagado, confunde a su maestro, Okuda Shôzaburô, y le mata pensando que es Yomoshichi. Esto ocurre al mismo tiempo que Samon es asesinado. Confabulados, Iemon y Naosuke engañan a Oiwa y Osode prometiéndoles encontrar al asesino de su padre a cambio de lo cual Osode es comprometida a  entregarse a Naosuke.

Acto II. Oume, la nieta de Itô Kihei, se ha enamorado de Iemon y los Itô deciden hacer a un lado a Oiwa enviándole una crema facial que en realidad en un veneno tópico. Oiwa se aplica la crema y queda desfigurada, tras lo cual Iemón decide que ya no puede permanecer con ella. Pide a Takuetsu que la viole para que él tenga un justificativo para el divorcio. Takuetsu no lo hace pero le muestra a Oiwa su reflejo en un espejo lo que la hace caer en cuenta que ha sido engañada y cogiendo una espada en su histeria corta equivocadamente su propio cuello en un forcejeo con Takuetsu. Se desangra y muere no sin antes maldecir el nombre de Iemon. Poco tiempo después Iemon se compromete a Oume pero en la noche de la boda el fantasma de Oiwa confunde a Iemon y le obliga a asesinar a Oume y a su abuelo.

Acto III. El resto de los miembros de la familia Itô son aniquilados. Iemon, últimamente, empuja a Oyumi, la madre de Oume, al canal Onbô. Naosuke aparece disfrazado de Gonbei, vendedor de anguilas, y chantajea a Iemon pidiéndole un documento valioso de la familia. Reflexionando sobre lo que va a hacer mientras pesca a orillas del Onbô, Iemon es sorprendido por Yomoshichi y Naosuke al mismo tiempo, los que se enfrascan en una pelea por el documento en disputa.

Acto IV. Naosuke sigue furtivamente a Osode quien lava ropa para sobrevivir. La obliga a consumar el pacto convenido, pero Yomoshichi lo ha observado todo y acusa a Osode de adulterio. Ella, opta por el suicidio pero sólo logra herirse mortalmente. Sin embargo, ha dejado una nota en la que explica que su animadversión a Naosuke es porque, realmente, es su hermana menor. Al enterarse de esto Naosuke y viendo que no había asesinado a Yomoshichi sino a su maestro, decide cometer suicidio, pero antes da muerte a Osode, también.

Acto V. Todo concluye con Iemon escapando a la ermita de la Montaña Serpiente donde cree encontrar refugio temporal del fantasma de Oiwa. En un sueño revive la época dorada de samurái, enamorándose, durante una cacería, de una doncella de la que no logra descubrir que no es otra que Oiwa. En su sueño despide a Chôbei, su compañero, para estar con la doncella. Pero todo es una treta de Oiwa para conducirlo al infierno. Sin embargo, Iemon logra escapar del sueño y de la ermita, sólo para encontrar en su camino a Yomoshichi quien lo ejecuta por venganza pero, también, por compasión.

Avatar 6 - Neutrinos en "2012"

Los días de esta semana han sido fríos, el mundo parece resquebrajarse bajo las intensas lluvias. En medio de estos sombríos hechos, en esta edición de Avatar haré algunos comentarios sobre el uso de los neutrinos como argumento en la película “2012”.

No creo ser un crítico de cine, aunque como muchos disfruto de algunas horas frente a las pantallas de algún cine local y esbozo opiniones por el placer o disgusto que las películas producen en mí. Hoy, sin embargo, me voy a reservar este tipo de opinión y escribiré  sobre el argumento que origina el devastador fin de la humanidad.

Muchos podrán decir que hacer críticas científicas en una película es inapropiado, argumentando que el cine es arte y que no se puede poner barreras a la imaginación. De acuerdo, por eso mi intención no es desacreditar a los escritores de “2012”, sino simplemente delinear las barreras entre la realidad y la ficción.

El gran holocausto se origina, según el guión, debido a un comportamiento anómalo de los neutrinos, los cuales repentinamente logran interaccionar con los átomos del núcleo terrestre provocando una elevación de la temperatura, desencadenando una serie de fenómenos catastróficos que derivarán en la destrucción de la vida en la Tierra.

Los neutrinos, por lo que sabemos actualmente son partículas elementales, que carecen de carga eléctrica y cuya masa es extremadamente pequeña, lo cual implica que su interacción con otras partículas es muy reducida; es decir, que un neutrino interaccione con el planeta, o cualquier ser vivo es casi nula. Los neutrinos prácticamente atraviesan nuestro planeta y a nosotros mismos sin ni siquiera darnos cuenta y sin que suframos ninguna consecuencia por este hecho. Como un ejemplo típico para darnos cuenta de la interacción de los neutrinos podemos afirmar que para detener la mitad de los neutrinos que atraviesan una barra de plomo, la barra debería medir aproximadamente un año-luz.

Sin embargo, se ha teorizado sobre la posibilidad de neutrinos muy energéticos provenientes de alguna estrella en extinción que podrían interaccionar a nivel genético, causando enfermedades y de este modo eliminando la vida en el planeta, aunque que este hecho es muy poco probable.

Otro dato curioso, es que suponiendo que los neutrinos logren interaccionar con el núcleo terrestre, estos deberían dar tal cantidad de energía para elevar la temperatura, que seguramente estos mismos neutrinos ya habrían derretido por completo la superficie terrestre mucho antes de modificar el núcleo.

Finalmente, en la película se atribuye una cantidad excesiva de neutrinos en el año 2012, lo cual es cierto. El sol emite mayores cantidades de neutrinos en ciclos bien definidos de 11 años, siendo el siguiente pico alrededor del 2012. Pero este hecho es muy bien conocido y se ha venido repitiendo continuamente sin que ningún fenómeno extraño ocurra, de hecho las predicciones para este pico solar se espera que sean menores a otras anteriores.

En fin, espero que estos comentarios sirvan para entender mejor a los neutrinos y reconocer en el cine o la literatura los límites de la realidad actual, lo posible y lo muy poco probable.

Avatar 6 - Un actor de la física de neutrinos

En lo que se refiere a neutrinos, seguramente nombres como Fermi, Pauli o Pontecorvo están entre los más conocidos y cuyos trabajos han sido de vital importancia para el desarrollo y conocimiento sobre los neutrinos. En esta oportunidad permítanme escribir sobre un físico a quien tuve el placer de conocer personalmente: Alexei Smirnov.

Smirnov nació en Rusia en 1951 y obtuvo doctorados en ciencias físicas y matemáticas y posteriormente en física teórica. No puedo afirmar que haya sido un amigo íntimo, ni el más adecuado para escribir sobre él; sin embargo, algunas facetas de su personalidad tocaron mi mundo social y científico.

Smirnov adquirió un poco de esa personalidad rusa, que nos lleva a imaginar a una persona con un carácter mas bien rígido. Recuerdo una ocasión donde la alegría del descubrimiento llevó al grupo a soltarse en carcajadas y cuando volteé hacia Smirnov, susurraba “I am very happy”; pero en su rostro no lograba encontrar el mínimo rasgo de felicidad, quizá una mejor descripción sea la foto que comparto con ustedes. Quedé sorprendido, incómodo y hasta algo molesto. Al principio no entendí esta forma de expresión facial; pero el tiempo me enseñó a ver el interior de este ser humano y encontré una persona cálida, humilde y siempre dispuesta a colaborar.

Mikheyev junto a Smirnov, en 1985, publicaron un artículo, expandiendo el trabajo de Wolfenstein, donde hicieron notar que las oscilaciones de neutrinos pueden ser modificadas cuando los neutrinos se propagan a través de la materia. Este efecto ha sido denominado como efecto MSW, el cual es importante para entender los neutrinos emitidos por el Sol, los cuales pasan a través de una densa atmósfera en su trayecto hacia nuestro planeta.

En los años 80 el problema surgió cuando varios grupos experimentales observaron un déficit en la cantidad de neutrinos atmosféricos esperados. Las mediciones no fueron contundentes sino hasta el 2002 cuando el “Subdury Neutrino Observatory” hizo una medición en la cual el número total de neutrinos, de todos los tipos, fueron observados confirmando el fenómeno de oscilación y por lo tanto la necesidad de modificar el modelo estándar. El experimento, corroborado posteriormente por otros laboratorios, muestra que la mayoría de los neutrinos producidos en el interior del Sol son del tipo electrónico y que éstos son transformados en neutrinos tipo muón y tau cuando llegan a la Tierra.

Actualmente Smirnov es uno de los  investigadores del staff del ICTP. Smirnov continúa su trabajo con neutrinos y es parte de esta trama que se va forjando día a día. Este pequeño artículo es para agradecer su calidad humana y científica, para con aquellos que intentamos seguir en esta corriente del conocimiento, anhelando aportar algún día con un poco del entendimiento de la naturaleza.

Avatar 5 - Palíndromo en las palabras

El profesor Jones había estado trabajando en la teoría del tiempo durante muchos años.
-Y he encontrado la ecuación clave –le dijo a su hija un día-, el tiempo es un campo. Esta máquina que hice puede manipular, inclusive revertir el tiempo.
Oprimiendo un botón al hablar dijo: Esto debería hacer que el tiempo camine hacia atrás hacia camine tiempo el que hacer debería esto: dijo hablar al botón un oprimiendo.
Tiempo el revertir inclusive, manipular puede hice que máquina esta. campo un es tiempo el, –día un hija su a dijo le- clave ecuación la encontrado he y-.
Años muchos durante tiempo del teoría la en trabajando estado había Jones profesor el.

Avatar 5 - Simetría bilateral en la creación

Una de las simetrías más evidentes, es la llamada simetría bilateral o también conocida como especular. Posiblemente una de las más sencillas y por ello quizá una de las más bellas. La simetría bilateral está presente por doquiera, incluso nosotros mismos la poseemos. Esta simetría, en el cuerpo humano consiste, en que una parte del cuerpo se corresponde con la contra lateral; es decir, la parte izquierda es semejante a la derecha.

Mientras recorría las páginas del libro que me acompaña estas semanas, me encontré con un caso curioso de esta simetría tan famosa. Quién iba a imaginar que la encontraría en medio de las tradiciones judeo-cristianas. El libro del Génesis afirma: “Y creó Dios al hombre a su imagen, a imagen de Dios le creó, varón y hembra”.  Esta frase ha llevado a varias interpretaciones y se han dado principalmente dos hipótesis. La primera afirma que la frase alude a la creación de un ser andrógino; es decir, un ser con las partes masculina y femenina equivalentes. La otra interpretación lleva a pensar que Dios, a partir de la misma materia, insufló el soplo de vida, creando al primer ente masculino (Adán) y al primer ser femenino (¿?). El mismo Génesis, en un capítulo posterior, afirma que Dios creó a la mujer a partir de una costilla de Adán, pero esta vez, en condiciones diferentes o como se consideró por mucho tiempo en los debates de la Iglesia Católica, en forma inferior a la del hombre. No fue sino hasta el Concilio de Nicea donde por fin se aceptó que la mujer tenía alma, puesto que según los escritos del Génesis, no se mencionaba que Dios la haya dotado de una.

Retornemos al primer ente femenino que, por lo visto, no podía ser Eva, ya que la primera mujer no fue creada de la costilla de Adán, sino de igual modo que el primer hombre. Algunas explicaciones han sido encontradas por diversos autores como Yehuda Bar Rabbi en el siglo III o en el texto del siglo V, Génesis Rabba, que es un midrás sobre el libro del Génesis, y otros más que creen que la primera mujer fue la llamada Lilith.

Claro que si indagamos más atrás en el tiempo, veremos que este nombre es una herencia mesopotámica de Lilitu y Lili, demonios femeninos de esa cultura, cuyos nombres fueron llevados por los judíos exiliados en Babilonia. Las escrituras talmúdicas cuentan que Lilith protagonizó la primera disputa de pareja con Adán. Aquella riña surgió al momento de hacer el amor, puesto que Lilith se negaba a estar en la posición por debajo del hombre. Adán exige: “Tú debes someterte a mí, yo soy superior” mas Lilith responde: “Somos iguales, fuimos creados de la misma tierra”. Lilith, molesta, decide revelarse y abandona a Adán y al paraíso, convirtiéndose a partir de entonces en un símbolo demoníaco y a la que se han atribuido todo tipo de características malignas y oscuras. (Aunque, claro, también ha sido un símbolo para las interminables disputas feministas y machistas, pero este tema deberá ser abordado por otros y en otro lugar.) Muchos autores han recurrido al nombre de Lilith, generalmente como un ser endemoniado que anda en busca del semen que el hombre expulsa mientras duerme. Recientemente encontré el nombre de Lilith en medio de las páginas del genial Saramago, en su obra Caín. Allí Lilith se convierte en la amante insaciable del marcado Caín.

Creencias, leyendas, verdades o simplemente una intrincada historia que aún sigue escribiéndose. Lo cierto es que la historia del Génesis adolecía de la falta de simetría bilateral en el momento de la creación del hombre y la mujer. Quizá los estudiosos de estas lecturas quisieron dotar a sus creencias de una mayor belleza al introducir a Lilith y por lo tanto la simetría bilateral.

Lilith. John Collier (1892).

Avatar 5 - Función de calibre explícita entre las condiciones de Coulomb y Lorenz

El presente artículo no pretende ser un trabajo original, simplemente una recopilación de información que trata de responder a una curiosidad implantada antaño. En aquellos años cuando cursaba las materias de electromagnetismo aparecieron las transformaciones llamadas de calibre o tal vez más conocidas como transformaciones gauge. En general los docentes o los propios libros de texto presentaban las condiciones de calibre sin mayor explicación con la única información de que la física no era alterada por la elección del calibre. Los calibres más utilizados  son los conocidos como calibre de Coulomb ($\nabla \cdot A=0$) o el de Lorenz ($\partial_\mu A^\mu$). En este artículo se presenta una relación explícita entre estas dos condiciones de calibre, mediante la obtención de la función de calibre $\chi(x,t)$ que relaciona ambas propuestas.

En el estudio del electromagnetismo es muy útil el uso del potencial escalar $\phi(x,t)$ y del vector potencial $A(x,t)$, de los cuales los campos electromagnéticos pueden ser determinados de manera única a través de

$E(x,t)=-\nabla \phi(x,t)-\frac{1}{c}\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}$ (1)
$B(x,t)=\nabla \times A(x,t)$ (1)

Es sabido que si se añade el gradiente de una función escalar al vector potencial, el campo magnético queda inalterado; sin embargo, tal hecho modifica el campo eléctrico, por lo cual, se debe también cambiar el potencial escalar. Siendo las transformaciones de calibre

$\phi \prime (x,t)=\phi(x,t)-\frac{1}{c}\frac{\partial \chi(x,t)}{\partial t}$ (2)
$A \prime (x,t)=A(x,t)-\nabla \chi(x,t)$ (2)

Las propuestas de calibre de Coulomb y de Lorenz, conducen a resultados equivalentes en los campos electromagnéticos, siendo posible hallar la función $\chi (x,t)$ que relacione ambas condiciones. Utilizando el calibre de Lorenz se obtienen dos ecuaciones de onda desacopladas, a saber

$\nabla^2 \phi_L-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi_L}{\partial t^2}=-4\pi\rho$
$\nabla^2 A_L-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_L}{\partial t^2}=-\frac{4\pi J}{c}$

cuyas soluciones son denominadas retardadas,

$\phi_L(x,t)=\int d^3x\prime \frac{1}{R}[\rho(x\prime,t\prime)]$
$A_L(x,t)=\int d^3x\prime \frac{1}{R}[J(x\prime,t\prime)]$

donde $R=|x-x\prime|$ y el tiempo $t\prime =t-\frac{R}{c}$ es el llamado tiempo de retardación, el cual está relacionado con la velocidad a la cual se transmite la información a través del potencial escalar. En el caso del calibre de Coulomb la velocidad es infinita y en el de Lorenz la velocidad es igual a $c$.

Por otro lado si se utiliza el calibre de Coulomb o también llamado calibre transversal se obtiene una ecuación sencilla para el potencial escalar

$\nabla^2 \phi_C=-4\pi\rho$

cuya solución es el potencial escalar instantáneo

$\phi_C(x,t)=\int d^3x\prime\frac{1}{R}[\rho(x\prime,t)]$

Por el contrario, para el potencial vector se tiene una ecuación muy complicada

$\nabla^2A_C-\frac{1}{c^2}\frac{\partial A_C}{\partial t^2}=-\frac{4\pi}{c}[J-\frac{1}{4\pi}\nabla\frac{\partial \phi_C}{\partial t}]$

Para poder determinar la función de calibre, $\chi(x,t)$, que transforma los potenciales calibrados con la propuesta de Coulomb en los potenciales bajo el calibre de Lorenz, se recurre a las ecuaciones (2)

$\frac{1}{c}\frac{\partial \chi_C(x,t)}{\partial t}=\phi_L(x,t)-\phi_C(x,t)$

Después de integrar ambos miembros respecto al tiempo se obtiene

$\chi_C(x,t)=c\int d^3x\prime\frac{1}{R}[\int_{t_0}^{t-\frac{R}{c}}dt\prime\rho(x\prime,t\prime)-\int_{t_0}^t dt\prime \rho(x\prime,t\prime)]+\chi_0$

la cual puede ser simplificada como

$\chi_C(x,t)=c\int d^3x\prime\frac{1}{R}\int_t^{t-\frac{R}{c}}dt\prime\rho(x\prime,t\prime)+\chi_0$

Esta es la función de calibre buscada, donde $\chi_0$ es una función que solo depende del tiempo. Finalmente para poder encontrar el potencial vector bajo el calibre de Coulomb $A_C$ sólo se necesita sumar el gradiente de la función de calibre encontrada con el potencial vector $A_L$.

Avatar 5 - Niels Henrik Abel (1802 – 1829), Diario autobiográfico (1)

5 de agosto de 1802
He nacido en Nedstrand, hoy Noruega.

8 de octubre de 1815 (2)
Me han enviado a Christiania a proseguir mis estudios.

13 de noviembre de 1817
El profesor Bader ha golpeado tan violentamente a uno de mis compañeros quien ha muerto ocho días después. Mis compañeros y yo no pensamos volver más a esa clase.

21 de noviembre de 1817
El Sr. Holmboe, nuevo profesor de Matemática, me da clases particulares y me ha sugerido algunos buenos libros al respecto (3).

4 de abril de 1823
He publicado por primera vez y me gustaría viajar a Paris o a Göttingen para estudiar con los grandes pero mi situación económica es precaria.

25 de junio de 1823
He viajado a Copenhagen. He conocido a Ferdinand Degen, el matemático. Estoy viviendo en Christianshavn y en un baile, allá, he conocido a Christine (4).

29 de marzo de 1824
Parece que todo mejora. El gobierno me ha otorgado una beca  de dos años y la posibilidad de viajar por Europa por otros dos años más. También he pagado de mi bolsillo la publicación de mi trabajo sobre la ecuación quíntica pero no ha recibido aún la repercusión que esperaba.

24 de septiembre de 1825
Después de escribir una carta al mismísimo rey Karl Johan, por fin parto hacia Alemania, pero he decidido ir a Berlín antes que a Göttingen. He conocido a August Leopold Crelle que ha quedado en publicar mis trabajos en una revista que verá la luz el próximo año.

23 de julio de 1826
Paris: por fin he llegado al punto focal de todas mis esperanzas matemáticas (5).

17 de octubre de 1826
He entregado a la Academia de París lo que he denominado tratado de Paris (6). En él trato un teorema de adición para integrales elípticas.

10 de diciembre de 1826
Tengo tos y fiebre. Quiero regresar a mi país. El tratado de París ha debido perderse porque no ha recibido atención alguna.

27 de mayo de 1827
De vuelta a Noruega todos piensan que mi viaje por Europa ha sido un fracaso. No he podido publicar en París y tampoco no he podido ver a Gauss en Göttingen.

7 de julio de 1828
He estado enseñando en la Universidad de Christiania en ausencia del Profesor Hansteen pero no hay un puesto fijo para mí. Sin embargo, parece que me ofrecen un puesto en Berlín donde espero poder establecerme con mi novia.

4 de octubre de 1828
No he tenido noticias de Berlín y he estado enfermo en cama.

11 de enero de 1829
Dios y la ciencia me han abandonado. Me preocupa qué será de Christine y por ello he pedido a mi buen amigo Keilhau que cuide de ella si algo me sucediese. También he logrado escribir nuevamente dos o tres página del tratado de París (7).

Avatar 5 - De teoría de teorías

Hoy quiero hablarles sobre algunas teorías matemáticas que subyacen en algunas teorías físicas. El origen de ellas probablemente se encuentre en las ecuaciones algebraicas de las que generalmente aprendemos a resolver las lineales y cuadráticas. Para los que tienen la oportunidad de trabajar con ecuaciones de mayor grado, que de modo más general son polinomios, se presenta la necesidad de estudiar la imposibilidad de resolución de la ecuación quíntica o de grado quinto, hecho demostrado independientemente por  Galois y Abel. Precisamente ese fue el inicio de la teoría de grupos que es la primera teoría que quiero tratar.

Un grupo es una estructura algebraica cuyos elementos incluyen uno inverso y otro neutro y, además, cumplen las reglas de clausura y asociatividad bajo una operación dada. Los grupos que describen simetrías son, probablemente, los más importantes para la física, por ejemplo, el grupo de Lorentz que es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo de Minkowski. De manera similar, en mecánica cuántica la descripción de un sistema se da mediante Hψ=Eψ, donde H es el hamiltoniano, ψ es la autofunción del sistema y E es el autovalor de energía correspondiente, y, entonces, el conjunto de operadores que conmutan con H es un grupo llamado el grupo de simetría del hamiltoniano. Actualmente resta empezar a estudiar las probables simetrías de cualesquiera teorías cuántico-gravitacionales y eso nos lleva a la segunda teoría que quiero tratar.

Las redes espinoriales son redes que describen estados base para la representación de bucles de la gravedad cuántica canónica no perturbativa o Loop Quantum Gravity. Resulta que un objeto central en esta descripción son conjuntos de espines que forman tetrahedros que siguen las reglas que ya Ponzano, Regge y Penrose desarrollaron para su cálculo y manipulación. Ahora bien, una manera de ver estos tetrahedros es como símplices que a su vez representan morfismos. Por ejemplo, el segmento de línea que se extiende de un punto a otro es un morfismo simple, los segmentos de línea o bordes que unen los tres puntos que son los vértices de un triángulo son bimorfismos, los bordes de un tetrahedro entre los cuatro puntos que lo conforman son trimorfismos, etc. Lo que sucede es que en la teoría de categorías estos puntos son llamados objetos y los bordes son llamados flechas o morfismos (que en realidad son funciones). Así, la teoría de categorías es últimamente un álgebra abstracta de funciones que en este caso puede explicar de una forma más amplia lo verdaderamente fundamental en las redes espinoriales. Baez y otros han estado en la tarea de categorizar diversas teorías físicas, lo que anteriormente ha tenido éxito tal cual es el caso de los diagramas de Feynman que no son otra cosa que la categorificación de la interacción entre partículas elementales. Nuevamente, la tendencia actual es categorificar las relaciones estructurales de cualesquiera teorías cuántico-gravitacionales, porque al hacerlo podríamos tener una imagen mayor (matemáticamente se dice que se gana una dimensión en el sentido literal) de lo fundamental en tales teorías. Esto nos lleva a la tercera y última teoría que quiero tratar.

Para tender un puente entre la teoría de grupos y la teoría de categorías precisamos de la teoría de representaciones. Por ejemplo, cuando hemos hablado de grupo, nos hemos preguntado: para un espacio-tiempo dado ¿cuál es el grupo de transformaciones posibles? En el caso de la teoría de representaciones la pregunta es inversa: dada una transformación ¿cuáles son los espacio-tiempos a los que se puede aplicar tal transformación? Más formalmente esta teoría es el estudio de estructuras algebraicas representando sus elementos como transformaciones lineales de  espacios vectoriales. Pero es más, los objetos algebraicos a los que esta teoría se puede aplicar pueden ser vistos como un tipo especial de categorías y las representaciones como funcionores de la categoría de objetos a la categoría de espacios vectoriales. Y he ahí el puente que buscábamos.

Por ende los desarrollos matemáticos o físicos ya no tienen por qué ser lineales. El uso de estas tres teorías en cualesquiera hipótesis cuántico-gravitacionales tiene, incluso, la forma de un bimorfismo que se puede entender como una teoría de teorías.