Avatar 8 - Sobre la física en los procesos vitales

Un amigo me ha preguntado qué dice la física sobre la muerte. Le he respondido que, primeramente, deberíamos entender qué dice la física sobre la vida o lo qué no dice sobre la muerte y buscar por reductio ad absurdum alguna conclusión valedera. Y pensando en todo esto recordé que en la naturaleza existe lo que parece imposible… un animal inmortal.

 

Su nombre científico es turritopsis nutricula. Es una medusa de mar de la clase hidrozoo que cuando alcanza la madurez sexual revierte su desarrollo para regresar a un estado de pólipo y comenzar su ciclo vital nuevamente. Esto lo hace mediante el proceso denominado transdiferenciación. Entendemos dicho proceso porque los biólogos que han estudiado células madre los últimos 30 años han investigado un proceso similar más básico denominado diferenciación. Este es el proceso por el cual una célula embriónica no especializada adquiere las características de una célula especializada como las de un corazón, hígado o músculo. La diferenciación está controlada por la interacción de los genes de una célula con las condiciones físicas y químicas fuera de la célula, usualmente a través de indicadores compuestos por proteínas inmersas en su superficie. En la transdiferenciación, estas células, propias de un tipo de tejido, se diferencian hacia células de otro tipo de tejido. Esta capacidad hace de la turritopsis nutricula un animal biológicamente inmortal.

Pero podemos preguntarnos ¿sabe la turritopsis nutricula que esta viva? Porque ¿qué es la muerte sino la disolución de la conciencia? Y, entonces, ¿qué es la conciencia? Roger Penrose, en su libro The Emperor’s New Mind, ha dicho que los procesos racionales concientes no pueden ser considerados algorítmicos ni, por lo tanto, corresponden al funcionamiento de una máquina de Turing, sino, más bien, estos procesos deben ser explicados considerando efectos cuánticos (en particular mediante el colapso de la función de onda). Ahora bien, si hemos de considerar efectos cuánticos esto quiere decir que todo hecho conciente sería sujeto de una de las posibles interpretaciones que se adscriben a la mecánica cuántica. El más probable, de todos los posibles, es el que considera que la realidad es una suma de historias o promedio de todas las posibilidades asociadas a un evento antes de su realización o medición (al colapsar su función de onda).

Sin embargo, en 1957, Hugh Everett propuso una interpretación diferente a la mecánica cuántica, denominada interpretación de los muchos mundos, que afirma la realidad objetiva de una función de onda universal, pero niega la realidad del colapso de la función, lo que implica que todas las posibles historias alternativas y futuros son reales – cada una representando un mundo o un universo real. Keith Lynch, un empleado en DBS (una compañía comercial que Everett cofundó), recuerda que Everett creía firmemente que su teoría de muchos mundos le garantizaba la inmortalidad: su conciencia, argüía, está sujeta, en cada bifurcación [de la realidad], a seguir el sendero que no conduzca a la muerte – y así ad infinitum.

Pero mientras no podamos evitar la muerte a la manera de la turritopsis nutricula o a la manera de los muchos mundos, me quedo con las palabras de Richard Dawkins (autor de The Selfish Gene): “Vamos a morir y ello nos hace los afortunados. La mayoría de las personas nunca van a morir porque nunca van a nacer. Las potenciales personas que podrían haber estado aquí en mi lugar pero que, de hecho, nunca verán la luz del día superan los granos de arena de Arabia. Estos fantasmas no natos ciertamente incluyen mayores poetas que Keats, mayores científicos que Newton. Sabemos esto porque el conjunto de posibles personas permitidas por nuestro ADN excede masivamente el conjunto de personas actuales. Es a pesar de estas sorprendentes probabilidades que tú y yo, simples como somos, estamos aquí.”

Avatar 8 - De monstruos y bifurcaciones

El género de la literatura de ficción está plagada de inmortales, la mayoría de ellos, monstruos. Pero a parte del ubicuo vampiro, también, está el famoso monstruo creado por Mary Shelley en su novela Frankenstein or the Modern Prometheus, obra en la que su protagonista Victor Frankenstein vence a la muerte al animar de vida, mediante procesos galvánicos, un cuerpo compuesto por varios deshechos humanos. Como el conocimiento que tenemos de esta novela se debe mayormente a las versiones cinematográficas (poco fieles a la novela original, mayormente) me tomo la libertad de copiar algunos pasajes del capítulo 3 alusivos a la animación del monstruo en particular:

 

“[…] Para examinar los orígenes de la vida debemos primero conocer la muerte. Me familiaricé con la anatomía, pero esto no era suficiente. Tuve también que observar la descomposición natural y la corrupción del cuerpo humano. […] Me detuve a examinar y analizar todas las minucias que componen el origen, demostradas en la transformación de lo vivo en lo muerto y de lo muerto en lo vivo. […] Cuando me encontré con este asombroso poder entre mis manos, dudé mucho tiempo en cuanto a la manera de utilizarlo. A pesar de que poseía la capacidad de infundir vida, el preparar un organismo para recibirla, con las complejidades de nervios, músculos y venas que ello entraña, seguía siendo una labor terriblemente ardua y difícil. En un principio no sabía bien si intentar crear un ser semejante a mí o uno de funcionamiento más simple; pero estaba demasiado embriagado con mi primer éxito como para que la imaginación me permitiera dudar de mi capacidad para infundir vida a un animal tan maravilloso y complejo como el hombre.”

Nuevamente en esta novela vemos renacidos los mitos del homúnculo alquímico y del golem judío. Es la búsqueda de la regeneración continua y de la reanimación de los sentidos. Es la negación de la muerte. Pero ¿qué es la vida?

Si la vida fuese conciencia y la conciencia tuviera alternativas múltiples, como Hugh Everett lo propuso, de cierto modo, en 1957, entonces J. L. Borges lo ha ilustrado magníficamente en su cuento El Jardín de Senderos que se Bifurcan del que, también, extraigo estos pasajes:

“[...] En todas las ficciones, cada vez que un hombre se enfrenta con diversas alternativas, opta por una y elimina las otras; en la del casi inextricable Ts'ui Pên, opta —simultáneamente— por todas. Crea, así, diversos porvenires, diversos tiempos, que también, proliferan y se bifurcan. [...] El jardín de los senderos que se bifurcan es una imagen incompleta, pero no falsa, del universo tal como lo concebía Ts'ui Pên. A diferencia de Newton y de Schopenhauer, su antepasado no creía en un tiempo uniforme, absoluto. Creía en infinitas series de tiempos, en una red creciente y vertiginosa de tiempos divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades. No existimos en la mayoría de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; en otros, yo, no usted; en otros, los dos. En éste, que un favorable azar me depara, usted ha llegado a mi casa; en otro, usted, al atravesar el jardín, me ha encontrado muerto; en otro, yo digo estas mismas palabras, pero soy un error, un fantasma. […]”

Lo interesante es que Borges escribió este cuento en 1941, dieciséis años antes que Everett propusiera su teoría.

Avatar 8 - Transdiferenciación

Las células madre (CM) han logrado en los últimos veinte años crear esperanza en el progreso de las ciencias médicas de una manera jamás siquiera soñada hasta ahora. La capacidad de estas células de autorenovación por periodos largos les permiten vivir el tiempo necesario sin diferenciarse (i.e. sin adquirir características específicas de una célula especializada en particular) para poder dar origen a otras células. Principalmente las CM pueden dar origen a células maduras diferenciadas y funcionales, pertenecientes, en principio, a cualquier tipo de tejido u órgano. Estas características han llevado a pensar a los investigadores en diversas aplicaciones, siendo posible su uso en la comprensión de estadios tempranos del desarrollo embrionario o del desarrollo y funcionamiento de los tejidos. Igualmente el potencial uso de las CM en pruebas de nuevas drogas, sin arriesgar la vida de seres humanos y, también, la promesa de la medicina regenerativa: la de poder crear o reparar tejidos u órganos completos, haciéndonos prácticamente inmortales.

Los primeros experimentos estuvieron restringidos solamente a CM de ratones. No fue sino hasta diez años después que se empezaron a utilizar CM humanas, obtenidas de embriones fertilizados in-vitro. Estas células así obtenidas son denominadas células madre embrionarias (CME). Las mismas presentan la propiedad de autorenovación y además de pluripotencialidad, i.e. que son capaces de generar cualquier tipo de célula. Aunque los orígenes del estudio de células madre, en realidad, comenzó con el descubrimiento de ciertas propiedades regenerativas en algunos órganos de los seres vivos, posteriormente se confirmó que las células madre no sólo podían ser obtenidas a partir de embriones sino que también existían CM en medio de células diferenciadas, es decir, en tejidos ya desarrollados. Estas células se denominan células madres adultas o somáticas (CMA), las cuales han sido encontradas en diversas zonas como ser en la médula espinal, en el cerebro, músculos, piel, etc., siendo la principal función de estas CMA la mantención y reparación de los tejidos donde se encuentran inmersos.

El origen de las CMA aún sigue siendo un misterio, puesto que las CME se diferencian rápidamente y en las primeras etapas embrionarias dando origen a células diferenciadas que generan todo el organismo. Las CMA, a pesar que también pueden autorenovarse por periodos largos, aunque con mayor dificultad que las CME, sólo pueden generar células diferenciadas pertenecientes al tejido donde se encontraban, es decir, no son pluripotenciales.

Recientemente investigaciones en CMAs han mostrado un fenómeno inesperado, denominado transdiferenciación o plasticidad, el cual consiste en la posibilidad de que CMA obtenidas en un tejido son capaces de generar células características de tejidos totalmente distintos. Por ejemplo, se tienen evidencias de que CMAs encontradas en la sangre (la cual se origina en la etapa embrionaria a partir de la capa germinativa primaria llamada mesodermo) pueden originar células musculares (de origen también mesodérmico) al igual que en células nerviosas (de origen ectodérmico).

El fenómeno de transdiferenciación, para ser aceptado, debe cumplir los siguientes requisitos: primero se debe confirmar la existencia de CMAs en un cierto tejido, labor por cierto muy complicada ya que el número de las mismas es en general muy reducido, además de encontrarse dispersas en el tejido. Segundo, una vez comprobada la existencia de CMAs se debe probar que estas células son capaces de generar células que normalmente aparecen en un tejido diferente del cual se obtuvieron las CMAs. Este paso usualmente se logra colocando marcadores en las CMAs que permitan rastrearlas en el nuevo tejido. El estudio puede ser hecho in-vivo o in-vitro. Finalmente, se debe demostrar que las células originadas por las CMAs son capaces de integrarse al tejido, sobrevivir y ser funcionales como cualquier otra célula madura del tejido en cuestión. Los datos actuales han logrado probar que las nuevas células originadas por CMAs provenientes de un tejido diferente, logran integrarse pero sólo muestran algunas características de una célula madura plenamente funcional.

El fenómeno de la transdiferenciación aún sigue en debate, ya que los experimentos sólo han demostrado resultados parciales, nada contundentes. Los opositores a esta teoría argumentan que los resultados podrían ser explicados de dos maneras distintas: las CMA de un tejido donante podrían fusionarse con células del tejido huésped o que las células madre del donante emitirían factores que estimulan el trabajo de las CMA presentes en el tejido huésped.

En fin, el estudio de las células madre es muy apasionante, prueba de ello es la constante aparición de preguntas que esperan ansiosas una respuesta.

Avatar 8 - Inmortal

En aquellos años cuando aún creía que la muerte era inevitable, cuando vivía el presente de manera eterna, mis ojos contemplaron la historia que les relataré:

Por aquellos tiempos mis rumbos derivaron en las montañas heladas de Kavkazskiy Khrebet. En estas cimas donde el mundo entero reposa, gran cantidad de abedules y pinos sincronizados en sutil danza bajo el níveo terreno reconfortaban mi espíritu soñador. De pronto, la paz del lugar fue destruida por gritos de dolor. Aunque el origen era lejano y los ecos sobre las rocas y los árboles me desorientaron por algún tiempo, finalmente encontré el origen de tan desgarradores lamentos. Un hombre, casi desnudo, una vez seguramente buen mozo, sobre la roca helada, encadenado de manos y pies, pálido de dolor, sufría inmensa agonía. Un cuervo mientras tanto hacía festín con su cuerpo, lentamente y sin dar importancia a los gritos y retorcijos el mismo comía su hígado, aunque no por completo. Quedé estupefacto ante aquel episodio, inmóvil más por la incredulidad que por el frio que comenzaba a medida que el Sol desaparecía detrás de la cordillera.

 

Cuando volví en mí, al fin mis miembros obedecieron y me acerqué hasta aquel pobre que aún gemía por el dolor que la herida le procuraba. Sin ninguna herramienta más que mis manos y cuanta roca podía levantar, intenté liberar al maltrecho encadenado. Vanos fueron mis intentos, agotado al fin, quedé dormido en medio del frio anochecer de la montaña.

 

Una mano tibia rozó mi frente. Era él, aún con sus cadenas sus dedos rozaban dulcemente mi frente, mientras sus palabras gemían: “Hijo, hijo descansa, no te acongojes, detén tu pesar, tu destino y mi salvación empiezan ahora”.

Recuperado, al fin me di cuenta que mis intentos para liberarlo serían inútiles. Entonces pensé que tal vez conversar y escuchar sería mi mejor ayuda. Mi sorpresa fue grande cuando caí en cuenta de la salud del encadenado. Estaba cansado y desgatado por su tortura; pero estaba vivo y la sangre ya no fluía por la herida, de hecho, sólo el rastro de la sangre seca quedaba. ¿Quién eres? ¿Qué eres?, le interrogué sorprendido.
Mi nombre es Prometeo afirmó, fui encadenado a este castigo por Zeus, señor de los dioses del Olimpo. Este es el precio que pago por mi amor a los humanos, porque les concedí la vida y les enseñé a utilizar los recursos de la naturaleza, les dí el fuego que Zeus les privó. Soy un titán, inmortal, igual que tú lo serás pronto. No me arrepiento de todo este martirio, pues el hombre logrará sobreponerse a la naturaleza y a los mismos dioses y, por mi parte, pronto vendrán a salvarme y tú eres parte de esa misión.

Continué toda la noche, en una plática de fantástica realidad, que para contárselas necesitaría tomos enteros y quizá mi memoria ya no sea fiel a las palabras pronunciadas.

Prometeo, entre muchas de sus virtudes, afirmaba poder ver el futuro, por eso, no le sorprendió mi aparición en aquel lugar perdido del mundo, ni el papel que desempeñaría en su liberación ni en la conquista del conocimiento del hombre. Una de mis mayores intrigas sin duda fue aquello que había dicho, “serás inmortal”. ¿Acaso era posible? ¿Un simple ser humano podría engañar a la inexorable muerte?

“Se paciente y perseverante, la respuesta está dentro de ti, busca y no pares de buscar, usa la razón y encontrarás tu respuesta. Ahora vete que debes cumplir con tu parte de esa historia”.

Aunque lleno de dudas y con muchas preguntas acepté marchar, pronto encontré ayuda. El llamado Hércules, hombre fuerte y muy gentil respondió a mi llamado de auxilio y emprendió veloz carrera en la búsqueda. Aunque intenté seguir el ritmo, me fue imposible. Cuando al fin llegué al lugar, Prometeo había sido liberado, sólo las cadenas rotas quedaron entre las rocas y en mi mente y mi corazón sembradas las dudas y las esperanzas. “Algún día seré inmortal”.

Avatar 7 - El arte de Escher y la geometría hiperbólica

Una interesante aplicación de la geometría hiperbólica en el arte, puede ser vista y explicada en algunas obras del famoso Maurits Cornellis Escher. En particular, encontré un interesante trabajo realizado por Madhu Gupta publicado en la IEEE. En este trabajo se analiza un grabado en madera denominado Círculo límite IV, o también conocido como el Cielo e Infierno.

En el grabado se observan ángeles y demonios que forman un teselado que cubre toda la superficie. Las figuras se van reduciendo de tamaño del centro hacia afuera radialmente, de tal modo que su tamaño disminuye, hasta perderse en los límites del grabado.

Para realizar este tipo de teselado es necesaria una transformación matemática que logre realizar desplazamientos de la figura base, manteniendo algunas características invariantes, que permitan reconocer cierta similitud entre las figuras transformadas y la figura original. Además, la transformación debe hacer posible que una red infinita quepa en un lienzo finito y, por lo tanto, se debe esperar que los desplazamientos y tamaños de la figura base no sean constantes y, por el contrario, que el tamaño de la figura base tienda a cero en los límites.

Un tipo de transformaciones en el espacio de números complejos que cumplen estos requisitos son las llamadas transformaciones de Möbius:

$T(Z)=W=\frac{aZ+b}{cZ+d}$

donde a, b, c, d son constantes complejas tal que

$ad-bc \neq 0$ y $T(\infty)\equiv \frac{a}{c}$ y $T(-\frac{d}{c})\equiv \infty$

Entre las propiedades interesantes de esta transformación se pueden destacar tres. La primera es que la transformación mantiene la forma de círculos y rectas; también conserva el ángulo en signo y valor después de realizada la transformación. Estas características satisfacen el requerimiento de que la transformación mantenga reconocible la figura base después de cada transformación. La otra característica importante consiste en que con la selección adecuada de una métrica, la transformación de Möbius mantiene invariable la distancia entre dos puntos $Z_1$ y $Z_2$ y la correspondiente distancia de sus imágenes $T(Z_1)$ y $T(Z_2)$. Esta propiedad sin duda se verá reflejada en el escalamiento de las distancias y los tamaños. La métrica que satisfaga esta condición deberá ser invariable a transformaciones de Möbius, siendo una alternativa la razón cruzada o cualquier función monotónica dependiente de esta razón:

$\frac{(T_1-T_3)(T_2-T_2)}{(T_1-T_4)(T_2-T_3)}=\frac{(Z_1-Z_3)(Z_2-Z_4)}{(Z_1-Z_4)(Z_2-Z_3)}$

donde $T_1, T_2, T_3$ y $T_4$ son las transformaciones de $Z_1, Z_2, Z_3$ y $Z_4$ respectivamente.

Al introducir una métrica, básicamente se está hablando del uso de una nueva geometría que cumpla con las restricciones establecidas. Es posible demostrar que utilizando uno de los modelos de la geometría no euclidiana hiperbólica, particularmente el modelo del disco abierto de Poincaré, la distancia hiperbólica entre dos puntos está dada por:

$d(F_1, F_2)=ln \frac{d_E(F_1, Q) d_E(F_2, P)}{d_E(F_2, Q) d_E(F_1, P)}$

donde $d_E$ es la distancia euclidiana y además Q y P son los puntos donde la recta hiperbólica intersecta el círculo unitario de Poincaré.

En resumen, podemos decir que el grabado de Escher puede ser explicado matemáticamente como una invarianza a las transformaciones de Möbius en el dominio de los números complejos, al ser medidos con una métrica de distancia hiperbólica, inducida por la razón cruzada invariante con el modelo de disco abierto del espacio hiperbólico de Poincaré. Las figuras de la obra de Escher, a pesar de diferir en su tamaño, de hecho son congruentes bajo la métrica hiperbólica, siendo así, desde este punto de vista tan sólo un mosaico periódico con piezas de tamaño constante y periodicidad uniforme en el espacio hiperbólico.

Avatar 7 - Lobachevsky inspirador

Uno de los matemáticos que vio en el quinto postulado de Euclides, el de las rectas paralelas, una oportunidad para crear nuevas geometrías, llamadas posteriormente no-euclidianas fue el matemático ruso Nikolai Lobachevsky. Su trabajo, en particular en la llamada geometría hiperbólica, ha sido de suma importancia en el desarrollo de las matemáticas, principalmente en la geometría, y sus aportes no sólo han tenido acogida dentro de las matemáticas puras sino también han sido aplicadas a diferentes campos encontrándose logros muy interesantes en el campo de la relatividad de Einstein.

Navegando por el mundo de la literatura me encontré con que Lobachevsky no sólo es admirado por matemáticos sino también por algunos artistas, que decidieron honrar en su arte a este gran matemático. Uno de ellos fue Roger Zelazny, escritor de ciencia ficción y de novelas nacido en Estados Unidos. Escribió este poema a manera de parodia u homenaje, dentro de su novela “Doorsways in the Sand”. Aquí les dejo una aproximación al original:

“Solo Lobachevsky ha mirado a la Belleza desnuda.
Ella se curva aquí adentro, aquí dentro y allá afuera.
Sus hendiduras paralelas se unen para burlarse
en una sabiduría de bellas nalgas;
con menos de ciento ochenta grados
su triángulo glorioso reposa.
Con su simetría de trompeta doble, Riemann no pudo conquistarla.
¡Sus gustos por las curvaturas más sencillas, el gordo teutón mostró!
Una elipse está bien para donde se quiere llegar,
pero modestia aparte!
Si a la Belleza sin ropas veré
dadme hipérbolas un día cualquiera.
El mundo es curvo, oí decir,
y sobre él nada reposa.
Sea éste mi deseo antes de morir:
Mirar a través de los ojos de Lobachevsky.”

Otra artista que decidió recurrir al nombre de Lobachevsky fue Tom Lehrer, un comediante, cantante y matemático americano que realizó una canción con el nombre de Lobachevsky. En ella se cuenta la historia de un matemático, quién supuestamente recibió un consejo del gran profesor Nikolai Ivanovich Lobachevsky:

“Plagia! Plagia!
No dejes que el trabajo de otro evada tu mirada.
Recuerda el por qué el Señor Dios te regaló ojos,
por lo tanto, no tapes tus ojos,
sino plagia, plagia, plagia!
Sólo ten cuidado de siempre llamarlo ‘investigación’.”

Lehrer afirmó posteriormente que no escogió a Lobachevsky por ser precisamente un ejemplo del plagio, sino fue simplemente por razones prosódicas. Lehrer menciona que Danny Kaye plagiaba una rutina del director ruso Stanislavsky, ambos músicos famosos. Lehrer decidió introducir la idea del plagio a las matemáticas y sin más ni más decidió que Lobachevsky fuese su víctima. Se debe reconocer lo jocoso de la canción y al escucharla en su idioma original, las rimas hacen evidente la elección del nombre ruso de Lobachevsky. Una letra graciosa, sencilla y divertida, que sin duda consigue su objetivo: repartir humor a través de la música, donde las matemáticas hacen su pequeño rol.

Avatar 7 - Conexiones hiperbólicas

Mientrás el geómetra jesuita del siglo XVIII, Gerolamo Saccheri, intentaba demostrar que el postulado de las paralelas de Euclides puede ser deducido a partir de los axiomas y cuatro postulados que lo preceden, desconocía, en realidad, que estaba descubriendo un nuevo tipo de geometría que hoy denominamos hiperbólica. La primera noción clara de esta geometría pertenece a Heinrich Lambert quién determinó la relación entre  los ángulos y el área de un triángulo hiperbólico. Sin embargo, el crédito histórico de estos descubrimientos matemáticos se atribuye más a Gauss, Bolyai y Lobachevsky.

Entre las representaciones euclideanas que hacen posible el estudio de la geometría hiperbólica, está la representación conformal, que permite la conservación de los ángulos euclidianos entre cualesquiera rectas. Más propiamente, una representación conformal consiste de un disco euclidiano en cuyo interior se representa un plano hiperbólico infinito. En esta representación la distancia entre cualesquiera dos puntos A y B se da mediante

$log\frac{QA \cdot PB}{QB \cdot PA}$

donde QA, PB, QB y PA son distancias euclidianas y P y Q los puntos donde el círculo euclidiano que pasa por A y B encuentra ortogonalmente el borde del disco.

Durante la última década del siglo XX, la teoría de cuerdas conoció uno de sus resultados más fructíferos, a decir, la teoría que se conoce como AdS/CFT (Anti de Sitter/Conformal Field Theory). En esta teoría las interacciones de las partículas y fuerzas usuales de la física se representan al interior de un espacio de curvatura negativa denominado Anti de Sitter, pero todas ellas parecen ser reflejo de interacciones correspondientes en el borde del disco euclidiano, del que ya hablamos,  que junto al tiempo forman un cilindro como el que se muestra en la figura.

Esas interacciones sobre la superficie de tal cilindro son similares a las que se dan entre quarks y gluones en la cromodinámica cuántica habitual. Lo interesante y novedoso de esta representación dual (AdS/CFT) es que revela a la fuerza de gravedad como una ilusión o reflejo de las interacciones que se producen en la superficie del cilindro  y explica que el universo Anti de Sitter cuadridimensional, que representa a nuestro universo, tiene una dimensión adicional al universo que se desarrolla en el cilindro. Es decir, se pueden modelar varias teorías en la superficie del cilindro que se corresponden a las teorías de nuestro universo habitual.

Entre estas teorías están las teorías cuánticas de gravitación que buscan aunar los efectos cuánticos y relativistas a todas las escalas del espacio-tiempo y que entre sus proponentes tienen a la teoría de cuerdas, ya citada, y a la teoría de bucles (loop quantum gravity) entre otros. Trabajando hace unos meses en esta última teoría, encontré que la evolución de las redes espinoriales, que describen los estados cuánticos del espacio-tiempo, pueden comportarse de manera fractal bajo ciertas condiciones y la evolución en sí asemeja la representación proyectiva de un plano hiperbólico!, lo que apunta ciertas cualidades particulares del espacio a escalas de Planck. (La figura, también conocida como red de Apolonio, muestra la evolución de una red espinorial.)

Hace unos 150 años Eugenio Beltrami dedujo la equivalencia entre ésta y otras representaciones, cabalmente entre la representación proyectiva y la conformal, lo que ahora podría indicar un posible puente entre una representación perteneciente a la teoría de bucles y otra perteneciente a la teoría de cuerdas, representando éste, si se revela cierto, un camino plausible en el afán de unificar tales teorías. Sin embargo, el mismo sólo es uno de tantos enfoques posibles, pues aquí meramente he querido subrayar la importancia de una geometría que parece subyacer en teorías fundamentales del espacio-tiempo a escalas mínimas y, también, máximas o cosmológicas, lo que seguramente ameritará una próxima nota al respecto.

Avatar 7 - Alicia en el País de las Maravillas Matemáticas

Lewis Carroll, creador de “Alicia en el País de las Maravillas”, tenía por verdadero nombre Charles Lutwidge Dodgson y no era escritor de profesión, sino matemático. Durante la época en que escribió su famoso libro se estaban descubriendo, entre otros hitos matemáticos, las geometrías no-euclidianas de las que la hiperbólica es una de ellas. Dodgson era un matemático tradicionalista y conservador, formado en la escuela de Euclides, y todo indica que las probables alusiones matemáticas que hace en su obra, son todas sátiras mordaces a la nueva matemática de su tiempo .

Por ejemplo, cuando Alicia cae por el hoyo del conejo y come un pastel que la reduce a 3 pulgadas, aparece una oruga que le recomienda comer un hongo para que le devuelva su tamaño, pero debe tener cuidado porque cierta parte del hongo le devolverá su tamaño mientras que otra lo reducirá más… Bueno, el álgebra, que parecía criticar Dodgson, tiene su origen en la palabra árabe al jebr e al mokabala que quiere decir “devolución y reducción”.

Más tarde, cuando Alicia encuentra a la Duquesa y ésta le entrega su bebé, éste se convierte en un cerdo. En esta parte es probable que Dodgson haya criticado la geometría proyectiva y el “principio de continuidad” propuesto por el matemático francés Jean-Victor Poncelet. Es este principio que le permite al bebé deformarse continuamente en un sentido topológico actual.

Luego Alicia llega a la fiesta de té del Sombrero Loco, la Liebre de Marzo y del Lirón. Pero es una reunión desquiciada, los comensales no hacen otra cosa que dar vueltas a la mesa, reacomodándose una y otra vez y, lo que es más, estos sinsentidos parecen no tener fin pues el tiempo que marca el reloj del Sombrerero no corre.

Todo indica que Dodgson, esta vez, está criticando el trabajo de William Rowan Hamilton quien había fallecido en 1865 poco después que el libro se publicara. El trabajo aludido es el de los cuaterniones, una piedra fundamental del álgebra abstracta que permite analizar rotaciones algebraicamente. Hamilton había tratado por años de usar tres términos espaciales en vez de los cuatro necesarios a los cuaterniones pero lo único que lograba era rotaciones en el plano. Cuando se rindió a la necesidad final de cuatro términos, quiso encontrar una explicación para ello y se sabe que alguna vez dijo “Me parece natural conectar esta unidad extra espacial con la concepción de tiempo”. Así, los miembros de la fiesta de té son los cuatro términos de los cuaterniones: el Sombrerero, la Liebre y el Lirón, estando ausente el Tiempo que no permite que las rotaciones alrededor de la mesa que efectúan los comensales tenga fin. Y cuando al final el Sombrerero y la Liebre tratan de meter al Lirón en la tetera, lo que los cuaterniones de Hamilton están haciendo es tratar de ser otra vez los acostumbrados y bien conocidos números complejos que sólo tienen dos términos o miembros.

Bueno, nadie niega la magnitud literaria de “Alicia en el País de las Maravillas”. Tal vez si intentamos ponernos en los zapatos de Dodgson, o Carroll, sintamos la perplejidad que tal vez sentía ante la nueva álgebra abstracta o las nuevas geometrías o, tal vez, simplemente debamos responder a “¿En qué se parece un cuervo a un escritorio?”