Avatar 7 - Conexiones hiperbólicas

Mientrás el geómetra jesuita del siglo XVIII, Gerolamo Saccheri, intentaba demostrar que el postulado de las paralelas de Euclides puede ser deducido a partir de los axiomas y cuatro postulados que lo preceden, desconocía, en realidad, que estaba descubriendo un nuevo tipo de geometría que hoy denominamos hiperbólica. La primera noción clara de esta geometría pertenece a Heinrich Lambert quién determinó la relación entre  los ángulos y el área de un triángulo hiperbólico. Sin embargo, el crédito histórico de estos descubrimientos matemáticos se atribuye más a Gauss, Bolyai y Lobachevsky.

Entre las representaciones euclideanas que hacen posible el estudio de la geometría hiperbólica, está la representación conformal, que permite la conservación de los ángulos euclidianos entre cualesquiera rectas. Más propiamente, una representación conformal consiste de un disco euclidiano en cuyo interior se representa un plano hiperbólico infinito. En esta representación la distancia entre cualesquiera dos puntos A y B se da mediante

$log\frac{QA \cdot PB}{QB \cdot PA}$

donde QA, PB, QB y PA son distancias euclidianas y P y Q los puntos donde el círculo euclidiano que pasa por A y B encuentra ortogonalmente el borde del disco.

Durante la última década del siglo XX, la teoría de cuerdas conoció uno de sus resultados más fructíferos, a decir, la teoría que se conoce como AdS/CFT (Anti de Sitter/Conformal Field Theory). En esta teoría las interacciones de las partículas y fuerzas usuales de la física se representan al interior de un espacio de curvatura negativa denominado Anti de Sitter, pero todas ellas parecen ser reflejo de interacciones correspondientes en el borde del disco euclidiano, del que ya hablamos,  que junto al tiempo forman un cilindro como el que se muestra en la figura.

Esas interacciones sobre la superficie de tal cilindro son similares a las que se dan entre quarks y gluones en la cromodinámica cuántica habitual. Lo interesante y novedoso de esta representación dual (AdS/CFT) es que revela a la fuerza de gravedad como una ilusión o reflejo de las interacciones que se producen en la superficie del cilindro  y explica que el universo Anti de Sitter cuadridimensional, que representa a nuestro universo, tiene una dimensión adicional al universo que se desarrolla en el cilindro. Es decir, se pueden modelar varias teorías en la superficie del cilindro que se corresponden a las teorías de nuestro universo habitual.

Entre estas teorías están las teorías cuánticas de gravitación que buscan aunar los efectos cuánticos y relativistas a todas las escalas del espacio-tiempo y que entre sus proponentes tienen a la teoría de cuerdas, ya citada, y a la teoría de bucles (loop quantum gravity) entre otros. Trabajando hace unos meses en esta última teoría, encontré que la evolución de las redes espinoriales, que describen los estados cuánticos del espacio-tiempo, pueden comportarse de manera fractal bajo ciertas condiciones y la evolución en sí asemeja la representación proyectiva de un plano hiperbólico!, lo que apunta ciertas cualidades particulares del espacio a escalas de Planck. (La figura, también conocida como red de Apolonio, muestra la evolución de una red espinorial.)

Hace unos 150 años Eugenio Beltrami dedujo la equivalencia entre ésta y otras representaciones, cabalmente entre la representación proyectiva y la conformal, lo que ahora podría indicar un posible puente entre una representación perteneciente a la teoría de bucles y otra perteneciente a la teoría de cuerdas, representando éste, si se revela cierto, un camino plausible en el afán de unificar tales teorías. Sin embargo, el mismo sólo es uno de tantos enfoques posibles, pues aquí meramente he querido subrayar la importancia de una geometría que parece subyacer en teorías fundamentales del espacio-tiempo a escalas mínimas y, también, máximas o cosmológicas, lo que seguramente ameritará una próxima nota al respecto.