Hoy quiero hablarles sobre algunas teorías matemáticas que subyacen en algunas teorías físicas. El origen de ellas probablemente se encuentre en las ecuaciones algebraicas de las que generalmente aprendemos a resolver las lineales y cuadráticas. Para los que tienen la oportunidad de trabajar con ecuaciones de mayor grado, que de modo más general son polinomios, se presenta la necesidad de estudiar la imposibilidad de resolución de la ecuación quíntica o de grado quinto, hecho demostrado independientemente por Galois y Abel. Precisamente ese fue el inicio de la teoría de grupos que es la primera teoría que quiero tratar.
Un grupo es una estructura algebraica cuyos elementos incluyen uno inverso y otro neutro y, además, cumplen las reglas de clausura y asociatividad bajo una operación dada. Los grupos que describen simetrías son, probablemente, los más importantes para la física, por ejemplo, el grupo de Lorentz que es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo de Minkowski. De manera similar, en mecánica cuántica la descripción de un sistema se da mediante Hψ=Eψ, donde H es el hamiltoniano, ψ es la autofunción del sistema y E es el autovalor de energía correspondiente, y, entonces, el conjunto de operadores que conmutan con H es un grupo llamado el grupo de simetría del hamiltoniano. Actualmente resta empezar a estudiar las probables simetrías de cualesquiera teorías cuántico-gravitacionales y eso nos lleva a la segunda teoría que quiero tratar.
Las redes espinoriales son redes que describen estados base para la representación de bucles de la gravedad cuántica canónica no perturbativa o Loop Quantum Gravity. Resulta que un objeto central en esta descripción son conjuntos de espines que forman tetrahedros que siguen las reglas que ya Ponzano, Regge y Penrose desarrollaron para su cálculo y manipulación. Ahora bien, una manera de ver estos tetrahedros es como símplices que a su vez representan morfismos. Por ejemplo, el segmento de línea que se extiende de un punto a otro es un morfismo simple, los segmentos de línea o bordes que unen los tres puntos que son los vértices de un triángulo son bimorfismos, los bordes de un tetrahedro entre los cuatro puntos que lo conforman son trimorfismos, etc. Lo que sucede es que en la teoría de categorías estos puntos son llamados objetos y los bordes son llamados flechas o morfismos (que en realidad son funciones). Así, la teoría de categorías es últimamente un álgebra abstracta de funciones que en este caso puede explicar de una forma más amplia lo verdaderamente fundamental en las redes espinoriales. Baez y otros han estado en la tarea de categorizar diversas teorías físicas, lo que anteriormente ha tenido éxito tal cual es el caso de los diagramas de Feynman que no son otra cosa que la categorificación de la interacción entre partículas elementales. Nuevamente, la tendencia actual es categorificar las relaciones estructurales de cualesquiera teorías cuántico-gravitacionales, porque al hacerlo podríamos tener una imagen mayor (matemáticamente se dice que se gana una dimensión en el sentido literal) de lo fundamental en tales teorías. Esto nos lleva a la tercera y última teoría que quiero tratar.
Para tender un puente entre la teoría de grupos y la teoría de categorías precisamos de la teoría de representaciones. Por ejemplo, cuando hemos hablado de grupo, nos hemos preguntado: para un espacio-tiempo dado ¿cuál es el grupo de transformaciones posibles? En el caso de la teoría de representaciones la pregunta es inversa: dada una transformación ¿cuáles son los espacio-tiempos a los que se puede aplicar tal transformación? Más formalmente esta teoría es el estudio de estructuras algebraicas representando sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales. Pero es más, los objetos algebraicos a los que esta teoría se puede aplicar pueden ser vistos como un tipo especial de categorías y las representaciones como funcionores de la categoría de objetos a la categoría de espacios vectoriales. Y he ahí el puente que buscábamos.
Por ende los desarrollos matemáticos o físicos ya no tienen por qué ser lineales. El uso de estas tres teorías en cualesquiera hipótesis cuántico-gravitacionales tiene, incluso, la forma de un bimorfismo que se puede entender como una teoría de teorías.
Un grupo es una estructura algebraica cuyos elementos incluyen uno inverso y otro neutro y, además, cumplen las reglas de clausura y asociatividad bajo una operación dada. Los grupos que describen simetrías son, probablemente, los más importantes para la física, por ejemplo, el grupo de Lorentz que es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo de Minkowski. De manera similar, en mecánica cuántica la descripción de un sistema se da mediante Hψ=Eψ, donde H es el hamiltoniano, ψ es la autofunción del sistema y E es el autovalor de energía correspondiente, y, entonces, el conjunto de operadores que conmutan con H es un grupo llamado el grupo de simetría del hamiltoniano. Actualmente resta empezar a estudiar las probables simetrías de cualesquiera teorías cuántico-gravitacionales y eso nos lleva a la segunda teoría que quiero tratar.
Las redes espinoriales son redes que describen estados base para la representación de bucles de la gravedad cuántica canónica no perturbativa o Loop Quantum Gravity. Resulta que un objeto central en esta descripción son conjuntos de espines que forman tetrahedros que siguen las reglas que ya Ponzano, Regge y Penrose desarrollaron para su cálculo y manipulación. Ahora bien, una manera de ver estos tetrahedros es como símplices que a su vez representan morfismos. Por ejemplo, el segmento de línea que se extiende de un punto a otro es un morfismo simple, los segmentos de línea o bordes que unen los tres puntos que son los vértices de un triángulo son bimorfismos, los bordes de un tetrahedro entre los cuatro puntos que lo conforman son trimorfismos, etc. Lo que sucede es que en la teoría de categorías estos puntos son llamados objetos y los bordes son llamados flechas o morfismos (que en realidad son funciones). Así, la teoría de categorías es últimamente un álgebra abstracta de funciones que en este caso puede explicar de una forma más amplia lo verdaderamente fundamental en las redes espinoriales. Baez y otros han estado en la tarea de categorizar diversas teorías físicas, lo que anteriormente ha tenido éxito tal cual es el caso de los diagramas de Feynman que no son otra cosa que la categorificación de la interacción entre partículas elementales. Nuevamente, la tendencia actual es categorificar las relaciones estructurales de cualesquiera teorías cuántico-gravitacionales, porque al hacerlo podríamos tener una imagen mayor (matemáticamente se dice que se gana una dimensión en el sentido literal) de lo fundamental en tales teorías. Esto nos lleva a la tercera y última teoría que quiero tratar.
Para tender un puente entre la teoría de grupos y la teoría de categorías precisamos de la teoría de representaciones. Por ejemplo, cuando hemos hablado de grupo, nos hemos preguntado: para un espacio-tiempo dado ¿cuál es el grupo de transformaciones posibles? En el caso de la teoría de representaciones la pregunta es inversa: dada una transformación ¿cuáles son los espacio-tiempos a los que se puede aplicar tal transformación? Más formalmente esta teoría es el estudio de estructuras algebraicas representando sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales. Pero es más, los objetos algebraicos a los que esta teoría se puede aplicar pueden ser vistos como un tipo especial de categorías y las representaciones como funcionores de la categoría de objetos a la categoría de espacios vectoriales. Y he ahí el puente que buscábamos.
Por ende los desarrollos matemáticos o físicos ya no tienen por qué ser lineales. El uso de estas tres teorías en cualesquiera hipótesis cuántico-gravitacionales tiene, incluso, la forma de un bimorfismo que se puede entender como una teoría de teorías.
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